證明題：F（x）單調遞增，若存在{xn}—>+∞，使得limF（xn）=A（n—>∞），則limF（x）=A（x—>∞） 證明：設limF（xn）=A 對任意e>0，存在n1，使得|F（xn1）-A|+∞，存在自然數N，當n>N時，有xn>xn1 則有|F（xn）-F（xn1）|≤|F（xn1）-A| 最後一步還要用海涅定理

證明題：F（x）單調遞增，若存在{xn}—>+∞，使得limF（xn）=A（n—>∞），則limF（x）=A（x—>∞） 證明：設limF（xn）=A 對任意e>0，存在n1，使得|F（xn1）-A|+∞，存在自然數N，當n>N時，有xn>xn1 則有|F（xn）-F（xn1）|≤|F（xn1）-A| 最後一步還要用海涅定理

直接用定義最簡單了.對任意的e>0，存在xn1使得|F（xn1）－A|

x0=a，x1=b，xn=1/2（xn-1+xn-2）證明xn收斂並求出其極限值

由題意可知：x（n）>0，（n>=0）
我們有：x（n）=1/2（x（n-1）+x（n-2））x（n-1）=1/2（x（n-2）+x（n-3））以此類推並全部相加得：
x（n）+1/2x（n-1）=1/2x（0）+x（1）=1/2a+b n>2，由此可得x（n）有界.
兩邊取極限得：其極限為：1/3a+2/3b

證明函數f:I→R在Xo∈I處連續任意Xn∈I，Xn→Xo（n→∞），恒有lim（n→∞）f（
Xn）=f（Xo

若在x0連續，顯然有limf（xn）=f（x0）.反過來，因為xn趨於x0，則當n充分大時|xn-x0|