逆三角関数の微分方程式の証明 ｄ（ａｒｃｔａｎ　ｘ）／ｄｘ＝１／（１＋ｘ＾２）ｘ＾２）を証明する ｃｏｓ＾２ｙ＋ｓｉｎ＾２ｙ＝１と１＋ｔａｎ＾２ｙ＝ｓｅｃ＾２ｙの２つの式が使えます。

逆三角関数の微分方程式の証明 ｄ（ａｒｃｔａｎ　ｘ）／ｄｘ＝１／（１＋ｘ＾２）ｘ＾２）を証明する ｃｏｓ＾２ｙ＋ｓｉｎ＾２ｙ＝１と１＋ｔａｎ＾２ｙ＝ｓｅｃ＾２ｙの２つの式が使えます。

証明：
ａｒｃｔａｎはＲ上で厳密に単調で、導通可能で、ｔａｎ　ｘは（－π／２，π／２）で単調で、導通性があります。
ａｒｃｔａｎ＇ｘ＝１／（ｔａｎ＇ｙ）＝１／ｓｅｃ＾２（ｙ）＝ｃｏｓ＾２（ｙ）
ｃｏｓ＇ｙ＝－１／根号（１－ｙ＾２）
だからａｒｃｔａｎ＇ｘ＝１／（１＋ｘ＾２）
まだ分からないの？ 私は補充

逆三角関数の限界 Ｘは０のｌｉｍ　Ｘ／ａｒｃ２ｘ制限を求めます。

現在のａｒｃｓｉｎ２ｘ＝ｔ，２ｘ＝ｓｉｎｔ，ｘ＝１／２ｓｉｎｔ，
Ｘが０になると、ｔは０になります
Ｘは０に対してｌｉｍ　Ｘ／ａｒｃ２ｘの極限＝ｔは０に対してｌｉｍ１／２ｓｉｎｔ／ｔは１／２

列車は２０ｍ／ｓの速度で前進し、運転手はトンネル口から５００ｍのところで笛を鳴らし、エコーが聞こえたときにどのくらい遠くに列車の頭のトンネルがありますか？

エコーを聞くと、列車の接線トンネルはｓで、列車の通過距離は５００ｍ－ｓで、ｖ＝ｓｔで、ｔ１＝ｓ１ｖ１＝５００ｍ−ｓ２０ｍ／ｓ、音の通過時間はｓ＋５００ｍで、ｔ２＝ｓ２ｖ２＝５００ｍ＋ｓ３４０ｍ／ｓである。

１つの口は、列車の笛を聞いた後、４８秒、車才は道口を通って、音速は毎秒３４０メートル、車の笛は１０２０メートル、車の速度は１時間何メートルですか？

図を描く方がよくわかりますよ、直線を描いて、一番右が道口、左が列車の起点、中間の距離は１０２０メートル、列車の速度を知りたいなら、電車がこの道で使う時間だけを求めます。

列車は２０メートル／秒の速度で前方の吊り下げられた壁の下のトンネル口に入ります。 （音速は３４０ｍ／ｓ）具体的な処理と解析

電車とソニックは７２０＊２＝１４４０２＝１４４０ｍ
２０ｔ＋３４０ｔ＝１４４０
解得ｔ　ｓ

列車はトンネルに入る前に笛を鳴らし、運転手はトンネルから２６２．５ｍのところで笛を鳴らします。

列車の走行速度はｖ１、列車の笛の間の列車は崖からの距離ｓ、ｖ＝ｓｔ、１．５ｓ以内の列車の走行距離：ｓ１＝ｖ１ｔ、１．５ｓ内鳴笛の伝播の総距離：ｓ２＝ｖ２ｔ、題意によると：ｓ１＋ｓ２ｓ、すなわち：ｖ１ｔ＋ｖ２ｔｓ、ｖ１×１．５ｓ＋３４０ｍ／ｓ×１．５ｓ＝２２６２．５ｍ、解得：．．．