既知の関数ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１／ｘ＋１．（１）定義証明関数を用いた区間［１，＋∞）は増加関数である； （２）区間［２，４］上の関数の最大値と最小値を求めます。

既知の関数ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１／ｘ＋１．（１）定義証明関数を用いた区間［１，＋∞）は増加関数である； （２）区間［２，４］上の関数の最大値と最小値を求めます。

（１）ｘ１，ｘ２はｆ（ｘ）の定格上の２つの個数であり、ｘ２＝ｘ２＞１；はｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝２（ｘ１－ｘ２）＋（１／ｘ１）－（１／ｘ２）＝２（ｘ１－ｘ２）＋（ｘ２－ｘ１）／（ｘ１ｘ２）＝（ｘ１－ｘ２）［２－１／（ｘ１ｘ２）］はｘ．．．

１．関数ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ｓｉｎｘは区間（０，２π）内の增区間２．ｆ（ｘ）＝ｘ １．関数ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ｓｉｎｘは区間（０，２π）内の增区間 ２．ｆ（ｘ）＝ｘ２／１＋ｘの増区間 ３．ｆ（ｘ）＝［ｘ２－２ｘ＋１］／［ｘ－１］極値を求める

（１）ｆ＇（ｘ）＝１＋２ｃｏｓｘ＞０
ｃｏｓｘ＞－１／２
ｘ∈（０，２π）
ｘ∈（０，２π／３）Ｕ（４π／３，２π）
増区間は（０，２π／３）和（４π／３，２π）
（２）ｆ＇（ｘ）＝［２ｘ（１＋ｘ）－ｘ２］／（１＋ｘ）＝０
ｘ２＋２ｘ＞０
ｘ＞０またはｘ

ｆ（ｘ）＝１－ｅ＾（－ｘ）．（１）証明：ｘ＞－１時，ｆ（ｘ）＞＝ｘ／（ｘ＋１）；（２）ｘ＞＝０時，ｆ（ｘ）

１
ｆ（ｘ）＝１－ｅ＾（－ｘ）
ｆ（ｘ）－ｘ／（ｘ＋１）＝１－ｅ＾（－ｘ）－［１－１／（ｘ＋１）］
＝１／（ｘ＋１）－ｅ＾（－ｘ）
０＞ｘ＞－１時
１／（ｘ＋１）＝ｌｉｍ（ｎ→∞）［１－（－ｘ）＾ｎ］／［１－（－（－ｘ）］＝１＋（－ｘ）＋（－ｘ）＾２＋．．．＋（－ｘ）＾ｎ
ｅ＾（－ｘ）＝１＋（－ｘ）＋（－ｘ）＾２／２！ ＋．．．（－ｘ）＾ｎ／ｎ！
１／（ｘ＋１）＞ｅ＾（－ｘ）
ｘ＝０時、１／（ｘ＋１）＝１＝ｅ＾０
ｘ＞０時、（ｘ＋１）ｅ＾（－ｘ）
だからｘ＞－１時ｆ（ｘ）≥ｘ／（ｘ＋１）
２
ｘ≥０
ｆ（ｘ）≥ｘ／（ａｘ＋１）
ｆ（ｘ）－ｘ／（ａｘ＋１）≥０
ｘ／（ａｘ＋１）＝１／ａ＋１／［ａ（ａｘ＋１）］
ｆ（ｘ）－ｘ／（ａｘ＋１）＝ｆ（ｘ）－［１／（ｘ＋１／ａ）］／ａ
ｘ＝０の場合、ｆ（ｘ）＝ｘ／（ａｘ＋１）
ｘ＞０時，
ｆ（ａｘ）＞ａｘ／（ａｘ＋１）
ａ≥１で、ａｘ／（ａｘ＋１）≥ｘ／（ａｘ＋１），ａｘ＞ｘ，１－ｅ＾（－ｘ）＞１－ｅ＾（－ａｘ）
ａ＞１時，ｆ（ｘ）＞ｆ（ａｘ）＞ｘ／（ａｘ＋１）
ａ０，ｘ＝１／（１－ａ），ｘ／（ａｘ＋１）＝１，ｆ（ｘ）＝１－ｅ＾（－ｘ）

既知の関数ｆ（ｘ）＝ｘ＋２／ｘ，証明関数ｆ（ｘ）は区間（１，＋∞）上に増加関数である．

区間（１，＋∞），ｄｆ（ｘ）＝１－２／ｘ２，０より大きい場合ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）が単調に増加する。

ｌｉｍｆ（ｘ）＝ａ（ｘは＋∞になる）で定義できる関数ｆを、ｌｉｍ１／ｘｆ（ｔ）ｄｔ＝ａ（積分は０～ｘ）であることを証明する。

ロピダの法則で導きを求めれば

0

逓減則ｆ＇（ｘ）＝３ｘ２＋６ｘ－ａ
３（ｘ＋１）２－３－ａ＋１
－２だからｘ＝３
３（ｘ＋１）２－３－ａ最大４５－ａ
ここにはない
だから４５－ａ≤０
ａ≥４５