타원 x^2/4+y^2=1 의 초점 F 를 현 AB 로 하고 삼각형 AOB(O 는 좌표 원점)면적 의 최대 치 를 구하 십시오. 상세 한 해석 을 구하 다

타원 x^2/4+y^2=1 의 초점 F 를 현 AB 로 하고 삼각형 AOB(O 는 좌표 원점)면적 의 최대 치 를 구하 십시오. 상세 한 해석 을 구하 다

타원 x^2/4+y^2=1,a=2,b=1,c=√3
F1(-√3,0),F2(√3,0)
타원 현 AB 과 F1 설정
직선 AB:y=k(x+√3),x=(y-√3k)/k
x^2/4+y^2=1
x^2+4y^2=4
[(y-√3k)/k]^2+4y^2=4
(1+4k^2)y^2-2√3ky-k^2=0
△=(-2√3k)^2-4*(1+4k^2)*(-k^2)=16k^2*(1+k^2)
설정 yA>yB
yA-yB=√[16k^2*(1+k^2)/(1+4k^2)]
삼각형 AOB(O 는 좌표 원점)면적=S 를 설정 하면
S=OF1*(yA-yB)/2=0.5√3*√[16k^2*(1+k^2)]/(1+4k^2)
(16S^2-12)k^4+(8S^2-12)k^2+S^2=0
(1)AB⊥X 축
x=-√3
yA-yB=1
S=√3*1/2=√3/2
(2)AB 불⊥X 축
알 수 없 는 k^2 의 방정식 에 실수 해 가 있 으 면 그 판별 식△≥0,즉
[(8S^2-12)]^2-4*(16S^2-12)*S^2≥0
S^2≤1
삼각형 AOB(O 는 좌표 원점)면적 의 최대 치=1 을 알 수 있다.