求微分方程.dy/dx-3xy=x的通解.

求微分方程.dy/dx-3xy=x的通解.

解法一：∵dy/dx-3xy=x ==>dy/dx=x（3y+1）
==>dy/（3y+1）=xdx
==>ln│3y+1│=3x²；/2+ln│3C│（C是積分常數）
==>3y+1=3Ce^（3x²；/2）
==>y=Ce^（3x²；/2）-1/3
∴原微分方程的通解是y=Ce^（3x²；/2）-1/3（C是積分常數）.
解法二：∵dy/dx-3xy==0 ==>dy/y=3xdx
==>ln│y│=3x²；/2+ln│C│（C是積分常數）
==>y=Ce^（3x²；/2）
∴根據常數變易法，設原方程得解為y=C（x）e^（3x²；/2）（C（x）表示關於x的函數）
∵y'=C'（x）e^（3x²；/2）+3xC（x）e^（3x²；/2）
代入原方程，得C'（x）e^（3x²；/2）+3xC（x）e^（3x²；/2）-3xC（x）e^（3x²；/2）=x
==>C'（x）e^（3x²；/2）=x
==>C'（x）=xe^（-3x²；/2）
∴C（x）=∫xe^（-3x²；/2）dx
=（1/3）∫e^（-3x²；/2）d（3x²；/2）
=C-e^（-3x²；/2）/3（C是積分常數）
==>y=C（x）e^（3x²；/2）=（C-e^（-3x²；/2）/3）e^（3x²；/2）=Ce^（3x²；/2）-1/3
故原微分方程的通解是y=Ce^（3x²；/2）-1/3（C是積分常數）.