已知函數f(x)=12x2+alnx(a∈R).(Ⅰ)若函數f(x)的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值;(Ⅱ)若函數f(x)在(1,+∞)上為增函數,求a的取值範圍.

已知函數f(x)=12x2+alnx(a∈R).(Ⅰ)若函數f(x)的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值;(Ⅱ)若函數f(x)在(1,+∞)上為增函數,求a的取值範圍.

(Ⅰ)已知函數f(x)=12x2+alnx,則導數f′(x)=x+ax函數f(x)的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b可知:f′(2)=2+a2=1,f(2)=2+aln2=2+b,解得a=-2,b=-2ln2(Ⅱ)若函數f(x)在(1,+∞)上為增函數,則f′(x)=x+ax≥0在(1,+∞)上恆成立,分離變量得a≥-x2,而(-x2)在x∈(1,+∞)恆小於-1,即得a≥-1故a的取值範圍為:a≥-1.