設n階方陣A滿足A的平方-5A+7E=0,證明3E-A可逆,並求(3A-E)的逆矩陣

設n階方陣A滿足A的平方-5A+7E=0,證明3E-A可逆,並求(3A-E)的逆矩陣

A*A - 5A +7E
= A(A-3E)- 2A +7E
= A(A-3E)-2(A-3E)+E
=(A-2E)(A-3E)+E
=0
∴(A-3E)(E-2A)=E
∴A-3E可逆,逆矩陣是E-2A