A為3x3矩陣,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求證A 不可對角化 2.)0是A的特徵值 3).1是A的特徵值 A為3x3矩陣,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求證A 不可對角化 2.)0是A的特徵值 3).1是A的特徵值 4).舉出一個A的例子,該例子需滿足條件A^3=A^2≠A 5).求證任何2X2矩陣都不滿足條件A^3=A^2≠A

A為3x3矩陣,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求證A 不可對角化 2.)0是A的特徵值 3).1是A的特徵值 A為3x3矩陣,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求證A 不可對角化 2.)0是A的特徵值 3).1是A的特徵值 4).舉出一個A的例子,該例子需滿足條件A^3=A^2≠A 5).求證任何2X2矩陣都不滿足條件A^3=A^2≠A

假設A可對角化,不妨設P-1AP=diag(a,b,c).（1）（對角線上是a,b,c的對角矩陣）P可逆
（1）式兩邊平方：P-1A^2P=diag（a^2,b^2,c^2).（2）
（1）式兩邊三次方：P-1A^3P=diag（a^3,b^3,c^3).（3）
由（2）（3）式及A^2=A^3,所以a^2=a^3,b^2=b^3,c^2=c^3
所以a,b,c屬於集合｛0,1｝,所以a=a^2=a^3...
此時有diag(a,b,c)=diag（a^2,b^2,c^2)=diag（a^3,b^3,c^3),又A=P diag（a,b,c) P-1
A^2=P diag(a^2,b^2,c^2) P-1 則A=A^2矛盾!
所以A不可對角化

即證存在向量α使得Aα=0     即證A不可逆
反證法：假設A可逆,存在A的逆A  -1,那麼在式子A^3=A^2中左乘A-1得到：A^2=A,矛盾

即證A-I不可逆（I是單位矩陣）
同樣反證法：假設A-I可逆,設其逆矩陣為(A-I)-1
那麼由A^3-A^2=0,所以A^2(A-I)=0
上式兩邊同時右乘(A-I) -1：A^2=0
與題目條件0不等於A^3=A^2矛盾

例子：
010
000
001

題目應該是求證任何2X2矩陣都不滿足條件0≠A^3=A^2≠A吧不然
01
00就是反例了
下面證明任何2X2矩陣都不滿足條件0≠A^3=A^2≠A
反證法：假設存在2X2矩陣都滿足條件0≠A^3=A^2≠A,同理：該矩陣不可對角化、0和1為特徵值
上面兩句話本身是矛盾的因為0和1是兩個不同的特徵值,這導致2X2矩陣可以被對角化
所以得