四邊形ABCD中,點O是CD的中點,AO,BO分別平分∠DAB,∠ABC,∠AOB＝120°,求證AD＋二分之一DC＋BC＝AB

四邊形ABCD中,點O是CD的中點,AO,BO分別平分∠DAB,∠ABC,∠AOB＝120°,求證AD＋二分之一DC＋BC＝AB

作DE⊥AO,交AB於E；作CF⊥BO,交AB於F；連線OE,OF.
∵ AO、BO分別平分∠BAD,∠ABC
很明顯△ADE為等腰三角形；即AE=AD
△BCF為等腰三角形;：即BF=BC
△OAD≡△OAE (SAS：OA=OA),
△OCB≡△OCF （同理）
所以：OD=OE,OC=OF,
∠AOD=∠AOE,∠BOC=∠BOF
又：點O是CD的中點 即：OE=OF
∵ ∠AOB=120°
∴ ∠AOD+∠COB=60°
由上已證明：∠AOD=∠AOE,∠BOC=∠BOF
∴ ∠AOE+∠COF=60°
∴ ∠FOE=60°
∵ OF=OE
∴ △FOE為等邊三角形
∴ FE=OF=OC=1/2DC
由上已證明：BC=BF,AD=AE.
∴ AD+1/2DC+BC=AE+EF+FB=AB

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