若點P為銳角三角形ABC的費馬點，且角ABC=60度，PA=3，PC=4，則PB的值為________； （我是初二學生）不要超出能力範圍

若點P為銳角三角形ABC的費馬點，且角ABC=60度，PA=3，PC=4，則PB的值為________； （我是初二學生）不要超出能力範圍

根據費馬點的定義，APB，BPC，CPA都是120°，下麵以BC為一條邊，向外做一個正三角形△BCM，再由費馬點的證明過程，P在AM上（這一步可以百度百科）在PM上取點N，使得∠PBN=60°，由∠APB=120°，所以∠BPN=60°，所以△BPN是正三…

求證：BB’過△ABC的費馬點P，且BB’=PA+PB證明中為什麼A，B'，P，C四點共圓？
若P為△ABC所在的平面上的一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120，則P點叫做△ABC的費馬點，在銳角△ABC外側作等邊△ACB’連接BB’求證：BB’過△ABC的費馬點P，且BB’=PA+PB+PC
證明為：由∠BPA=120°，∠AB′C=60°，
∴A，P，C，B′四點共圓.
∴∠APB′=∠ACB′=60°，
∴∠APB+∠APB′=180°，
∴BPB′三點共線.
在PB′上取一點D，使得∠PCD=60°，
由∠CPB′=120°-60°=60°，
∴△PCD是等邊三角形，得：PC=PD（1），
在△APC和△B′DC中，
AC=B′C，由∠PCD=∠ACB′=60°，
∴∠ACP=∠B′CD，PC=DC，
∴△ACP≌△B′CD，得AP=DB′（2）
由（1），（2）得：
BP+AP+CP=BB′.證畢.

B'太麻煩，用D來代替好了
在銳角三角形ABC外側作等邊三角形ACD連接BD，CD
因為是銳角三角形，即可在BD上選取一點P，使得角APB等於120度
則角APD等於60度，又角ACD等於60度
所以A，P，C，D四點共圓
所以角CPD等於角CAD等於60度
綜上，角APC等於角BPC等於120度，可知P為費馬點
下證BD=PA+PB+PC
延長PC並截取CE=AP，連接ED
因為內接的關係，易知角PAD+角PCD=180度，角PAD=角ECD
易證△PAD≌△ECD，又∵角DEP=角DPE=60度
∴PD=ED=PE=PC+CE=PC+PA
得證BD=PA+PB+PC

在銳角三角形abc的外側作等邊三角形acb“，連接bb”求證：bb“過三角形abc的費馬點p且bb”=pa+pb+pc

證明：（1）在bb'上取點p使角apc=120度則pabc四點共圓則角apb=acb=60度，cpb=cab=60度故角apb=cpb=120度則p為費馬點（2）取b'd=pa則pa=db'，ac=b'c，角pac=dbc三角形apc全等於bdc所以pc=cd又角bpc=60度故三角形pcd為等…

如圖，以O為圓心的兩個同心圓的半徑分別為5和3，大圓的弦AB交小圓於點C、D，則弦AB的取值範圍是______.

當AB與小圓相切，∵大圓半徑為5cm，小圓的半徑為3cm，∴AB=252−32=8cm.∵大圓的弦AB與小圓有兩個公共點，即相交，∴8＜AB≤10.故答案為：8＜AB≤10.

如圖所示，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓於C、D
若AC、AD的長恰好為方程X²；-MX+6=0的兩個實數根，問能否求出大圓之內，小圓之外的環形面積？若能，請求出它的面積，若不能，你認為還需要添加什麼條件方可求出它的面積【提示，圓的面積公式S=πR²；（R為圓的半徑）】

可以求
S=π（R²；-r²；）=6π

已知如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓於C，D兩點.試說明：AC=BD.

作OE⊥AB，則AE=BE，CE=DE，故BE-DE=AE-CE；即AC=BD.

如圖，已知以點O為公共圓心的兩個同心圓，大圓的弦AB交小圓於C，D.（1）求證：AC=DB；（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圓環的面積.

（1）過點O作OE⊥AB於E，∴AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD；（2）連接OA，OC，在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE2=OA2-AE2，OE2=OC2-CE2，∴OA2-AE2=OC2-CE2，∴OA2-OC2=AE2-CE2，∵AB=6cm，CD=4cm，∴AE=3cm，CE=2cm…

如圖，已知以點O為公共圓心的兩個同心圓，大圓的弦AB交小圓於C，D.（1）求證：AC=DB；（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圓環的面積.

（1）過點O作OE⊥AB於E，∴AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD；（2）連接OA，OC，在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE2=OA2-AE2，OE2=OC2-CE2，∴OA2-AE2=OC2-CE2，∴OA2-OC2=AE2-CE2，∵AB=6cm，CD=4cm，∴AE=3cm，CE=2cm…

如圖，同心圓O中，大圓的弦AB、AC分別切小圓於D、E.求證：∠B=∠C

連接OD，OE，OA，則OD=OE；OA=OA，∠ODA=∠OEA=90度，所以ΔAOD≌ΔAOE；所以AD=AE.因為AB=2AD，AC=2AE；所以AB=AC，即：∠B=∠C

如圖：在同心圓中，大圓的弦AB交小圓於C、D，已知AB=2CD，AB的弦心距等於CD的一半，那麼同心圓大圓與小圓的半徑之比是多少？

作OE⊥CD於點E，設OE=1
∵OE=1/2CD
∴CE =CE=1
∴OC =√2
∵AB =2CD
∴AC =CE=1
∴AE=2
∴OA=√5
∴小圓與大圓的半徑比為√2∶√5