若點p為銳角三角形ABC的費馬點，且角ABC等於60度，PA＝3，PC＝4，求PB的值？

若點p為銳角三角形ABC的費馬點，且角ABC等於60度，PA＝3，PC＝4，求PB的值？

△PAC中用余弦定理算出AC^2
設PB=x，
△PBA中用余弦定理算出BA^2
△PBC中用余弦定理算出BC^2
△ABC中
AC^2= BA^2 + BC^2 - 2*BA*BC*cosB
解方程求x
自己算一算吧：）

在任意三角形ABC內取一點P，使PA+PB+PC和最小，問點P的位置並求證

費馬（Pierre De Fermat）是法國數學家，1601年8月17日出生於法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅.費馬曾提出關於三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小.人們稱這個點為“費馬點”.
引例：有甲乙丙三個村莊，要在中間建一供水站向三地送水，現要確定供水站的位置以使所需筦道總長最小？將此問題用數學模型抽象出來即為：
在△ABC中確定一點P，使P到三頂點的距離之和PA+PB+PC最小.
解法如下：分別以AB AC為邊向外側作正三角形ABD ACE連結CD BE交於一點，則該點即為所求P點.
證明：如下圖所示.連結PA、PB、PC，在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC∠BAE=∠BAC+60°∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE∴△ABE全等△ACD.
∴∠ABE=∠ADC從而A、D、B、P四點共圓
∴∠APB=120°，∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P為圓心，PA為半徑作圓交PD於F點，連結AF，
以A為軸心將△ABP順時針旋轉60°，已證∠APD=60°
∴△APF為正三角形.∴不難發現△ABP與△ADF重合.
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异於P的點G，同樣連結GA、GB、GC、GD，以B為軸心
將△ABG逆時針旋轉60°，記G點旋轉到M點..
則△ABG與△BDM重合，且M或在線段DG上或在DG外.
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC.
從而CD為最短的線段.
以上是簡單的費馬點問題，將此問題外推到四點，可驗證四邊形的對角線連線的交點即是所求點