如圖所示，▱ABCD中，M，N，P，Q分別為AB，BC，CD，DA上的點，且AM=BN=CP=DQ.求證：四邊形MNPQ為平行四邊形.

如圖所示，▱ABCD中，M，N，P，Q分別為AB，BC，CD，DA上的點，且AM=BN=CP=DQ.求證：四邊形MNPQ為平行四邊形.

證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D.∵AM=BN=CP=DQ，∴AB-AM=CD-CP，AD-DQ=BC-BN，即BM=DP，AQ=CN.在△AMQ和△CPN中，AM=CP，∠A=∠C，AQ=CN，∴△AMQ≌△CPN（SAS），MQ=PN，同理可證：△BMN≌△DPQ，∴MN=PQ，故四邊形MNPQ是平行四邊形.

已知在平行四邊形ABCD中，兩條對角線交於點O.N是DA延長線上一點，連接ON，交AB於M，AB=6，BC=4，AN=2，則AM的長度為______.

取AD的中點E，連接OE，∵兩條對角線交於點O，∴OB=OD，∴OE‖AB且OE=12AB=12×6=3，∵BC=4，∴AD=4，∴AE=12×4=2，∵AN=2，∴AM是△NOE的中位線，∴AM=12OE=12×2=1.故答案為：1.

在平行四邊形ABCD中，AC和BD是對角線，求證AC~2+BD~2=AB~2+BC~2+CD~2+DA~2.

過A、D作BC的垂線，分別交BC和BC的延長線於E、F，設BE=a
則：AC²；=（BC-a）²；+AE²；①
BD²；=（BC+a）²；+AE²；②
而AE²；=AB²；-a²；③
①+②化簡得：
AC²；+BD²；=2BC²；+2a²；+2AE²；④
將③代入④得：
AC²；+BD²；=2BC²；+2AB²；
即AC²；+BD²；=AB²；+BC²；+CD²；+AD²；