線性代數——正定二次型和半正定二次型是什麼關係 如題，一個“正定二次型”是不是同時也是“半正定二次型”啊？原因為何？ x1^2+x2^2+x3^2，對於任何實列向量x，都有x^TAx>=0，那麼它也是半正定二次型嗎？

線性代數——正定二次型和半正定二次型是什麼關係 如題，一個“正定二次型”是不是同時也是“半正定二次型”啊？原因為何？ x1^2+x2^2+x3^2，對於任何實列向量x，都有x^TAx>=0，那麼它也是半正定二次型嗎？

正定的實二次型，要求對於任何【非0的】向量X，都有X^AX>0，半正定的要求≥0，囙此正定的都是半正定的，就像人同時也是靈長類一樣.
如果討論的空間是3維的，那麼x1^2+x2^2+x3^2是正定的二次型.

設n階矩陣A的秩為1，證明A^2=tr（A）A

知識點：r（A）=1的充要條件是存在n維非零列向量α，β，使得A=αβ^T.
所以有A^2 =（αβ^T）（αβ^T）=α（β^Tα）β^T =（β^Tα）αβ^T = tr（A）A.

在量子力學中，Tr為迹，（trace），A，B，C為矩陣，證明：（1）.Tr（AB）=Tr
在量子力學中，Tr為迹，（trace），A，B，C為矩陣，證明：（1）.Tr（AB）=Tr（BA）；（2）.Tr（ABC）=Tr（BCA）=Tr（CAB）

你好無聊啊，問這種問題，誰給你打這麼複雜的公式推導
第一個公式直接把（AB）ii的運算式寫出來，然後求和，很容易證明與（BA）ii的求和相等
第二個直接用第一個式子證明，將A視為一個矩陣，BC視為一個矩陣，可以證明第一個等式
然後將B視為一個矩陣，將CA視為一個矩陣可以證明第二個式子，就OK了

高代題若f（E）=n，對任意A，B都有f（AB）=f（BA）且f（aA+bB）=af（A）+bf（B），試證明恒有f（A）=tr（A）
f是定義在P（n*n）上的函數.這t原題如此，應該是r如果證明寫起來太麻煩就給個思路吧

tr是迹，就是一個矩陣主對角線元素的代數和
其實這個題就是關於迹的運算
兩個矩陣的迹滿足tr（AB）=tr（BA），tr（aA+bB）=atr（A）+btr（B），
也就是

證明tr（AB）=tr（BA）
其中A，B不一定為方陣

什麼情况下，矩陣乘法滿足交換律？
如題

1:兩個方陣中有一個是數量矩陣時（數量矩陣是指主對角線上為同一不為0的數，其他的項全是是0，它是方陣），此時矩陣乘法滿足交換律.
2:當兩矩陣相等或其中一個為0矩陣時，矩陣乘法滿足交換律，單位矩陣就是一個數量矩陣.
3:方陣A，B滿足AB=A+B.則A，B乘積可交換，即AB=BA

線性代數轉置矩陣的乘法
（ABC）T展開後得什麼？

先乘積後轉置，最終可化為，對每一個轉置後，反過來相乘.
（C）T（B）T（A）T，證明過程有點複雜，一般來說，這個可以當作一個法則去記住就行了.

線性代數矩陣的乘法
已知矩陣A為n階方陣，A的平方=2A，則A的n次方=？

A^2=2A
A^3=AA^2=2A^2=2^2A
.
A^n=2^（n-1）A

線性代數設A，B均為有m行的矩陣，證明max{R（A），R（B）}≤R[（A，B）]≤R（A）+
線性代數
設A，B均為有m行的矩陣，證明
max{R（A），R（B）}≤R[（A，B）]≤R（A）+R（B）

A，B的列向量可由（A，B）的列向量線性表示
所以r（A）

線性代數證明題：一、設A，B均為n階矩陣，切A的平方—2AB=E.證明AB-BA+A可逆

證明：
A^2-2AB=E
A（A-2B）=E
說明A可逆，且A的逆為A -2B
上式變形得到B=（A^2-E）/（2A）
代入AB-BA+A化簡得到
AB-BA+A=A（A^2-E）/（2A）-（A^2-E）A/（2A）+A（此時才能把AB-BA約去）
得到AB-BA+A=A
得以證明
希望採納，謝謝