數學歸納法證明 < {（n+1）/2 }的n 次方

數學歸納法證明 < {（n+1）/2 }的n 次方

當n=1時,n!=1!=1=[(n+1)/2)]^n
當n=2時,n!=2!=2

用數學歸納法證明 1+2+3+4+...+2的n次方=2的2n-1次方+2的n-1次方.

證明（1）當n=1時 左式=1+2^1=3 右式=2^(2×1-1)+2^(1-1)=2+1=3
此時命題成立
（2）假設當n=k時命題成立 即
1+2+3+……+2^k=2^(2k-1)+2^(k-1)
那麼當n=k+1時
1+2+3+……+2^k+[(2^k+1)+(2^k+2)+……+(2^k+2^k-1)+(2^k+2^k)]
=2^(2k-1)+2^(k-1)+[(2^k+1)+(2^k+2)+……+(2^k+2^k-1)+(2^k+2^k)]
=2^(2k-1)+2^(k-1)+2^k•2^k+(1+2+3+……+2^k)
=2^(2k-1)+2^(k-1)+2^k•2^k+2^(2k-1)+2^(k-1)
=2^(2k)+2^(k)+2^2k=2^(2k+1)+2^k
即此時命題成立 由數學歸納法知原命題成立

用數學歸納法證明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n-1）”，當“n從k到k+1”左端需增乘的代數式為（　　） A. 2k+1 B. 2（2k+1） C. 2k+1 k+1 D. 2k+3 k+1

當n=k時，左端=（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），
當n=k+1時，左端=（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），
故當“n從k到k+1”左端需增乘的代數式為 (2k+1)(2k+2)
(k+1)=2（2k+1），故選 B．

用數學歸納法證明1+a+a2++an=1-an+2/1-a(a≠1,nN),在驗證n=1時,左邊計算所得的式子是

是1+a+a^2+……+a^n=[1-a^（n+1)]/(1-a)吧
n=1,左邊=1+a,右邊=(1-a^2)/(1-a)=1+a,左=右,成立
n=k時成立,則n=k+1時
左=[1-a^(k+1)]/(1-a)+a^(k+1)=[1-a^(k+1)+a^(k+1)-a^(k+2)]/(1-a)=[1-a^(k+2)]/(1-a)=右邊
所以命題對所有正整數均成立.證畢!

用數學歸納法證明不等式1/（n+1）+1/（n+2)+…+1/(n+n)> 13/24 將Na2Co3和Nacl固體混合物32.9g放入燒杯中,此時總質量為202.9g,加入326.9g稀鹽酸,恰好完全反應,待沒有氣泡逸出後再次稱量,總質量為525.4g.計算所得溶液中溶質的質量分數（Co2的溶解忽略不計） 還有反應後的溶液中的溶劑是什麼.

證明：假設當n=k時,A=1/(k+1)+1/(k+2)+…+1/(k+k)>13/24成立,則當n=k+1時,左邊=1/(k+2)+1/(k+3)+…+1/(k+1+k+1)=A+1/(k+1+k)+1/(k+1+k+1)-1/(k+1)=A+1/(2k+1)-1/(2k+2)=A+1/(2k+1)(2k+2)>A>13/24即當n=k+1時,不等式...

用數學歸納法證明不等式“1/n+1+1/n+2+---+1/2n＞13/24(n＞2,n屬於N*)的過程中 由假設n=k成立推到n=k+1成立時,不等式的左邊 A 增加了一項1/2(k+1) B 增加了兩項1/2k+1,1/2(k+1） C 增加了兩項1/2k+1,1/2(k+1),有減少了一項1/k+1 D 增加了一項1/2(k+1),有減少了一項1/k+1

選C,一頭一尾都變化了.

用數學歸納法證明：1+1 22+1 32+…+1 n2≥3n 2n+1（n∈N*）．

證明：當n=1時，結論成立；假設n=k時，不等式成立；當n=k+1時，左邊≥3k2k+1+1(k+1)2，下證：3k2k+1+1(k+1)2≥3(k+1)2(k+1)+1，作差得3k2k+1+1(k+1)2−3(k+1)2(k+1)+1＝k(k+2)(k+1)2(2k+1)(2k+3)＞0，得結論成立，即...

用數學歸納法證明1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2．

證明：①當n=1時，3n+1=4，而等式左邊起始為1×4的連續的正整數積的和，
故n=1時，等式左端=1×4=4，右端=4，成立；
②設當n=k時，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）=k（k+1）2成立，
則當n=k+1時，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=k（k+1）2+（k+1）（3k+4）=（k+1）（k2+k+3k+4）=（k+1）（k+1+1）2，即n=k+1，成立
綜上所述，1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2．

用數學歸納法證明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=n(3n+1) 2（n∈N*）

證明：①n=1時，左邊=2，右邊=2，等式成立；
②假設n=k時，結論成立，即：（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=k(3k+1)
2
則n=k+1時，等式左邊=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1）=k(3k+1)
2+3k+2=(k+1)(3k+4)
2
故n=k+1時，等式成立
由①②可知：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=n(3n+1)
2（n∈N*）成立

數學歸納法證明1/n+1+1/n+2+1/n+3+...+1/3n>9/10 n>=2 1）當n=2時,左=1/3 +1/4+1/5+1/6=57/60>54/60=9/10,成立． （2）假設n=k時,有1/(k+1) +1/(k+2) +...+1/3k >9/10 那麼　1/(k+2)+1/(k+3) +...+1/3(k+1) =[1/(k+1) +1/(k+2)+...+1/3k] +1/(3k+1) +1/(3k+2)+1/(3k+3) -1/(k+1) >9/10 +1/(3k+3) +1/(3k+3)+1/(3k+3) -1/(k+1) =9/10 即n=k+1時命題也成立, 從而　原不等式對n∈N,且n>1成立． 第二步中為什麼是 >9/10 +1/(3k+3) +1/(3k+3)+1/(3k+3) -1/(k+1) 不應該是 >9/10 +1/(3k+1) +1/(3k+2)+1/(3k+3) -1/(k+1)的麼

1）當n=2時,左=1/3 +1/4+1/5+1/6=57/60>54/60=9/10,成立．（2）假設n=k時,有1/(k+1) +1/(k+2) +...+1/3k >9/10那麼　1/(k+2)+1/(k+3) +...+1/3(k+1)=[1/(k+1) +1/(k+2)+...+1/3k] +1/(3k+1) +1/(3k+2)+1/(3k+3) -1/(...