数学帰納法によって証明された（n＋1）/2）のn乗

数学帰納法によって証明された（n＋1）/2）のn乗

n=1の場合、n！=1！=1=[(n＋1)/2]^n
n=2の場合、n！=2！=2

数学的帰納法で1+2+3+4+2のn乗=2の2 n-1乗+2のn-1乗を証明します。

証明（1）n=1の場合、左式=1+2^1=3右式=2^(2×1-1)+2^(1-1)=2+1=3
この時点で命題が成立する
（2）n=kの場合は即時命題とする
1+2+3+…+2^k=2^(2 k-1)+2(k-1)
じゃ、n=k+1の時
1+2+3+…+2^k+[(2^k+1)+(2^k+2)+…+(2^k+2^k-1)+(2^k+2^k)]
=2^(2 k-1)+2^(k-1)+[(2^k+1)+(2^k+2)+…+(2^k+2^k-1)+(2^k+2^k)]
=2^(2 k-1)+2^(k-1)+2^k•2^k+(1+2+3+…+2^k)
=2^(2 k-1)+2^(k-1)+2^k•2^k+2(2k-1)+2^(k-1)
=2^(2 k)+2^(k)+2^2 k=2^(2 k+1)+2 k
すなわち、この時の命題成立は数学帰納法により知原命題が成立する。

数学的帰納法で「（n＋1）（n＋2）・・・•（n＋n）＝2 n・1・3・・・•（2 n−1）」、「nがkからk＋1」の左端まで増乗する代数式は（）です。 A.2 k+1 B.2（2 k＋1） C.2 k+1 k+1 D.2 k+3 k+1

n=kの場合、左端=(k+1)(k+2)(k+3)…（2 k）
n=k+1の場合、左端=(k+2)(k+3)…（2 k）（2 k＋1）（2 k＋2）、
したがって、「nがkからk＋1」の左端に乗算すべき代数式は（2 k＋1）（2 k＋2）である。
（k＋1）=2（2 k＋1）ですので、Bを選びます。

数学的帰納法で1+a+a 2+a n=1-an+2/1 a(a≠1,nN)を証明し、n=1を検証する時、左の計算式は

1+a+a^2+です+a^n=[1-a^)/(1-a)
n=1、左=1+a、右=(1-a^2)/(1-a)=1+a、左=右、成立
n=kの場合はn=k+1の場合
左=[1-a^(k+1)/(1-a)+a^(k+1)=[1-a^(k+1)+a^(k+1)-a^)/(1-a)=[1-a^)/(1-a)=右側
だから命題はすべての正の整数に対してすべて成立します。

数学的帰納法で不等式1/(n＋1)+1/(n＋2)＋…+1/(n+n)>13/24 Na 2 CO 3とNacl固体混合物32.9 gをビーカーに入れます。この時の総質量は202.9 gで、326.9 gの希少塩酸を入れて、ぴったりと反応します。気泡が出ない時に再度計量します。総質量は525.4 gです。得られた溶液の中の溶質の質量分数（Co 2の溶解は無視します。）を計算します。また反応した溶液の中の溶剤は何ですか？

証明：n=kと仮定すると、A=1/(k+1)+1/(k+2)＋…+1/(k+k)>13/24が成立すると、n=k+1の場合、左=1/(k+2)+1/(k+3)＋…+1/(k+1+k+1)=A+1/(k+1+k)+1/(k+1+1)-1/(k+1)=A+1/(2 k+1)-1/(2 k+2)=A+1/(2 k+2)＜A＞13/24はn=k+1の場合、不等式…

数学的帰納法で不等式「1/n＋1/n＋2＋−＋1/2 n」13/24（n＞2，nはN*）を証明する過程で n=k成立を仮定してn=k+1成立に押した場合、不等式の左側 Aは1項1/2(k+1)Bを追加しました。2項1/2 k+1,1/2(k+1)Cを追加しました。2項1/2 k+1,1/2(k+1)を追加しました。一つの項目1/k+1 Dを減らして1/2(k+1)を追加しました。一つの項目1/k+1を減らしました。

Cを選ぶと、頭と尾が変わります。

数学的帰納法で証明する：1＋1 22＋1 32+…+1 n 2≧3 n 2 n+1(n∈N*)

証明：n=1の場合、結論が成立します。n=kを仮定すると不等式が成立します。n=k＋1の場合、左≧3 k 2 k+1（k＋1）2、下証：3 k 2 k+1（k＋1）2≧3（k＋1）2（k＋1）＋1、差が3 k+1（k＋1）2（k＋1）

数学的帰納法で1×4+2×7+3×10＋…+n(3 n+1)=n(n+1)2.

証明：①n=1の場合、3 n＋1=4、等式左から1×4の連続正の整数積の和、
したがって、n=1の場合、式の左端=1×4=4、右端=4、成立します。
②n=kを設定すると、1×4+2×7+3×10＋…＋k（3 k＋1）=k（k＋1）2が成立し、
n=k+1の場合、1×4+2×7+3×10＋…＋k（3 k＋1）＋（k＋1）（3 k＋4）＝k（k＋1）2＋（k＋1）（3 k＋4）＝（k＋1）（k 2＋k＋3 k＋4）＝（k＋1）2、すなわちn＝k＋1となり、成立する。
以上より、1×4+2×7+3×10＋…+n(3 n+1)=n(n+1)2.

数学的帰納法で証明する：（n＋1）+（n＋2）++(n+n)=n(3 n+1) 2(n∈N*)

証明：①n=1の場合、左=2、右=2、等式成立；
②n=kを仮定すると、結論が成立します。すなわち、（k＋1）+（k＋2）＋…+(k+k)=k(3 k+1)
2
n=k+1の場合、式左=(k+2)+(k+3)++(k+1)+(k+1+k+1)=k(3 k+1)
2+3 k+2=(k+1)(3 k+4)
2
だからn=k+1の時に、式は成立します。
①②でわかる：（n＋1）+（n＋2）＋…+(n+n)=n(3 n+1)
2(n∈N*)成立

数学的帰納法証明書1/n＋1/n＋2+3++1/3 n>9/10 n>=2 1）n=2の場合、左=1/3+1/4+1/5+1/6=57/60>54/60=9/10となります。 (2)n=kを仮定すると、1/(k+1)+1/(k+2)+1/3 k>9/10があります。 じゃ、1/(k+2)+1/(k+3)+1/3(k+1) =[1/(k+1)+1/(k+2)+1/3 k]+1/(3 k+1)+1/(3 k+2)+1/(3 k+3)-1/(k+1) >9/10+1/(3 k+3)+1/(3 k+3)+1/(3 k+3)-1/(k+1) =9/10 つまりn=k+1の時に命題も成立します。 したがって、元の不等式はn∈Nに対して、n>1は成立する。 二番目のステップはなぜですか？ >9/10+1/(3 k+3)+1/(3 k+3)+1/(3 k+3)-1/(k+1) はずではない >9/10+1/(3 k+1)+1/(3 k+2)+1/(3 k+3)-1/(k+1)のですか？

1)n=2の場合、左=1/3+1/4+1+1/5+1+1/6=57/60>54/60=9/10、成立.(2)n=kを仮定すると、1/(k+1)+1/(k+1)+1/(k+1)+1/(k+1)+1/+1/(k+3)+3/+1/+1(k+1+1/+1+1+1+1/+1/+1+1/+1(k+1)+1+1+1+1+1+1/+1/+1/+1/+1(k+1)+1+1+1/+1/+1+1/+1/+1/+1/+1/+1/+1/+1 1/(…