수학 적 귀납법 증명 < {(n + 1) / 2} 의 n 제곱

수학 적 귀납법 증명 < {(n + 1) / 2} 의 n 제곱

n = 1 시 n! = 1! = 1 = [n + 1) / 2)] ^ n
n = 2 시 n!

수학 적 귀납법 으로 1 + 2 + 3 + 4 +... + 2 의 n 제곱 = 2 의 2n - 1 제곱 + 2 의 n - 1 제곱 을 증명 한다.

증명 (1) 당 n = 1 시 좌식 = 1 + 2 ^ 1 = 3 오른쪽 식 = 2 ^ (2 × 1 - 1) + 2 ^ (1 - 1) = 2 + 1 = 3
이때 명제 가 성립 되 었 다
(2) n = k 를 가설 할 때 바로 출제 한다
1 + 2 + 3 +...+ 2 ^ k = 2 ^ (2k - 1) + 2 ^ (k - 1)
그러면 n = k + 1 일 때
1 + 2 + 3 +...+ 2 ^ k + [(2 ^ k + 1) + (2 ^ k + 2) +...+ (2 ^ k + 2 ^ k - 1) + (2 ^ k + 2 ^ k)
= 2 ^ (2k - 1) + 2 ^ (k - 1) + [(2 ^ k + 1) + (2 ^ k + 2) +...+ (2 ^ k + 2 ^ k - 1) + (2 ^ k + 2 ^ k)
= 2 ^ (2k - 1) + 2 ^ (k - 1) + 2 ^ k • 2 ^ k + (1 + 2 + 3 +...+ 2 ^ k)
= 2 ^ (2k - 1) + 2 ^ (k - 1) + 2 ^ k • 2 ^ k + 2 ^ (2k - 1) + 2 ^ (k - 1)
= 2 ^ (2k) + 2 ^ (k) + 2 ^ 2k = 2 ^ (2k + 1) + 2 ^ k
즉 이때 명제 가 성립 된 것 은 수학 귀납법 으로 알 고 있 는 원 명제 가 성립 된 것 이다

수학 적 귀납법 으로 증명 (n + 1) (n + 2) •...• (n + n) = 2n • 1 • 3 •...• (2n - 1) "n 에서 k + 1 까지" 왼쪽 끝 에 곱 해 야 하 는 대수 식 은 () A. 2k + 1 B. 2 (2k + 1) C. 2k + 1 k + 1 D. 2k + 3 k + 1

n = k 시, 왼쪽 끝 = (k + 1) (k + 2) (k + 3)...(2k),
n = k + 1 시, 왼쪽 끝 = (k + 2) (k + 3)...(2k) (2k + 1) (2k + 2),
그러므로 'n 에서 k + 1' 왼쪽 끝 에 증가 해 야 하 는 대수 식 은 (2k + 1) (2k + 2) 이다.
(k + 1) = 2 (2k + 1) 때문에 B.

수학 적 귀납법 으로 증명 하 다

1 + a + a ^ 2 +...+ a ^ n = [1 - a ^ (n + 1)] / (1 - a) 하 자
왼쪽 = 1 + a, 오른쪽 = (1 - a ^ 2) / (1 - a) = 1 + a, 왼쪽 = 오른쪽, 설립
n = k 시 성립, n = k + 1 시
좌 = [1 - a ^ (k + 1)] / (1 - a) + a ^ (k + 1) = [1 - a ^ (k + 1) + a ^ (k + 1) - a ^ (k + 2)] / (1 - a) = [1 - a ^ (k + 2)] / (1 - a) = 오른쪽
그래서 명 제 는 모든 정수 에 대해 성립 되 고 증 필!

수학 적 귀납법 으로 부등식 1 / (n + 1) + 1 / (n + 2) +...+ 1 / (n + n) > 13 / 24 Na2CO 3 와 Nacl 고체 혼합물 32.9g 을 비커 에 넣는다. 이때 총 질량 은 202.9g 이 고 묽 은 염산 326.9 g 을 첨가 하여 완전 반응 을 나타 낸다. 기포 가 없 으 면 다시 한번 달 아 보 자. 총 질량 은 525.4 g 이다. 소득 용액 중 용질 의 질량 분수 (Co2 의 용해 무시) 를 계산 하고 반응 한 용액 중의 용제 가 무엇 인지 계산한다.

증명: n = k 일 경우 A = 1 / (k + 1) + 1 / (k + 2) +...+ 1 / (k + k) > 13 / 24 에 설립 되면 n = k + 1 에 왼쪽 = 1 / (k + 2) + 1 / (k + 3) +...+ 1 / (k + 1 + k + 1) = A + 1 / (k + 1 + k) + 1 / (k + 1 + k + 1) - 1 / (k + 1) = A + 1 / (2k + 1) - 1 / (2k + 2) = A + 1 / (2k + 1) > A > 13 / 24 즉 n = k + 1 시, 부등식...

수학 적 귀납법 으로 부등식 을 증명 하 다. 가설 n = k 성립 에서 n = k + 1 성립 시 부등식 의 왼쪽 으로 A 는 1 / 2 (k + 1) 를 추 가 했 고 B 는 2 가지 1 / 2k + 1, 1 / 2 (k + 1) C 가 2 가지 1 / 2k + 1, 1 / 2 (k + 1) 를 추 가 했 으 며 1 가지 1 / k + 1 D 가 1 / 2 (k + 1) 를 추 가 했 고 1 가지 1 / k + 1 이 감소 했다.

C 를 고 르 면 머리 와 꼬리 가 달라 진다.

수학 적 귀납법 으로 증명: 1 + 1 22 + 1 32 +...+ 1 n2 ≥ 3n 2n + 1 (n * 8712 ° N *).

증명: n = 1 시, 결론 이 성립 된다. 가설 n = k 시, 부등식 이 성립 된다. n = k + 1 시, 왼쪽 ≥ 3k + 1 (k + 1) 2, 하 증: 3k + 1 (k + 1) 2 ≥ 3 (k + 1) 2 (k + 1) 2 (k + 1) + 1, 작 차 가 3kk + 1 (k + 1) 2 + 3 (k + 1) 2 + 1 + 1 (k + 1) + 1 (k + 1) + 1 (k + 1) + 1) (k + 1) (k + 1) 2) (k + 1) 2) (k + 1) + 1) + 3), 즉 성립 된다.

수학 적 귀납법 으로 1 × 4 + 2 × 7 + 3 × 10 + 를 증명 하 다.+ n (3 n + 1) = n (n + 1) 2.

증명: ① n = 1 시, 3 n + 1 = 4 이 고, 등식 왼쪽 은 1 × 4 의 연속 적 인 정수 적 합 이다.
그러므로 n = 1 시, 등식 왼쪽 끝 = 1 × 4 = 4, 오른쪽 끝 = 4, 성립;
② n = k 를 설정 할 때 1 × 4 + 2 × 7 + 3 × 10 +...+ k (3k + 1) = k (k + 1) 2 설립,
n = k + 1 시, 1 × 4 + 2 × 7 + 3 × 10 +...+ k (3k + 1) + (k + 1) (3k + 4) = k (k + 1) 2 + (k + 1) (3k + 4) = (k + 1) (k + 1) (k + 1 + 3k + 4) = (k + 1) 2, 즉 n = k + 1, 성립
다시 말하자면, 1 × 4 + 2 × 7 + 3 × 10 +...+ n (3 n + 1) = n (n + 1) 2.

수학 적 귀납법 으로 증명: (n + 1) + (n + 2) +...+ (n + n) = n (3 n + 1) 2 (n * 8712 ° N *)

증명: ① n = 1 시, 왼쪽 = 2, 오른쪽 = 2, 등식 성립.
② n = k 를 가설 할 때 결론 이 성립 된다. 즉 (k + 1) + (k + 1) + (k + 2) + 이다.+ (k + k) = k (3k + 1)
이
n = k + 1 시, 등식 왼쪽 = (k + 2) + (k + 3) +...+ (k + k + 1) + (k + 1 + k + 1) = k (3k + 1)
2 + 3k + 2 = (k + 1) (3k + 4)
이
그러므로 n = k + 1 시 등식 이 성립 되 었 다
① ② 에서 알 수 있 듯 이 (n + 1) + (n + 2) +...+ (n + n) = n (3 n + 1)
2 (n * 8712 ° N *) 설립

수학 적 귀납법 증명 1 / n + 1 / n + 2 + 1 / n + 3 +.. + 1 / 3n > 9 / 10 n > = 2 1) 당 n = 2 시, 좌 = 1 / 3 + 1 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 = 57 / 60 > 54 / 60 = 9 / 10, 성립. (2) n = k 를 가설 할 때 1 / (k + 1) + 1 / (k + 2) +.. + 1 / 3k > 9 / 10 이 있다. 그러면 1 / (k + 2) + 1 / (k + 3) +... + 1 / 3 (k + 1) = [1 / (k + 1) + 1 / (k + 2) +... + 1 / 3k] + 1 / (3k + 1) + 1 / (3k + 2) + 1 / (3k + 3) - 1 / (k + 1) > 9 / 10 + 1 / (3k + 3) + 1 / (3k + 3) + 1 / (3k + 3) - 1 / (k + 1) = 9 / 10 즉 n = k + 1 시 명제 도 성립 되 고 따라서 원래 의 부등식 대 n 8712 ° N, 그리고 n > 1 이 성립 된다. 두 번 째 단계 에서 왜 > 9 / 10 + 1 / (3k + 3) + 1 / (3k + 3) + 1 / (3k + 3) - 1 / (k + 1) 아니다 > 9 / 10 + 1 / (3k + 1) + 1 / (3k + 2) + 1 / (3k + 3) - 1 / (k + 1) 의

1) n = 2 시, 좌 = 1 / 3 + 1 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 = 57 / 60 > 54 / 60 = 9 / 10, 성립. (2) 가설 n = k 시 1 / (k + 1) + 1 / (k + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 5 + 1 / 5 + 1 / 5 + 1 / 6 / 6 / 6 = 57 / 60 > 54 / / 60 > 54 / 3 + 1 (k + 1) = [1 / + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + 1 + + + + 1 + + 3 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 + 1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 1 1 / (...