2p2+p+8=m2-2mを満たすすべての素数pと正の整数m.

2p2+p+8=m2-2mを満たすすべての素数pと正の整数m.

p(2p+11)=(m-4)(m+2)を与えられ、pは素数であるため、pは(m-4)の因数である、またはpは(m+2)の因数である。(5分)(1)pが整数(m-4)であれば、m-4=kp,kが正整数であるため、m+kp,3pp(2p+1)=(m-4)(m+2)>k2p2,従ってk2<3,从而k=1,所以m−4=pm+2=2p+1解得p=5m=9.(10分)(2)若p整除(m+2),令m+2=kp,k是正整数.当p>5である。 m-4=kp-6>kp-p=p(k-1),3p2>p(2p+1)=(m-4)(m+2)>k(k-1)p2,従ってk(k-1)<3,それによってk=1,または2,p(2p+1)=(m-4)(m+2)は奇数なのでk=2,従ってk=1,従ってm−4=2p+1m+2=p,これは不可能である。 求める素数p=5,正整数m=9(20分)