S=1平方-2平方+3平方-4平方+5平方-…+99平方-100平方+101平方、Sが103で除かれる剰余を求める。

S=1平方-2平方+3平方-4平方+5平方-…+99平方-100平方+101平方、Sが103で除かれる剰余を求める。

S=1平方-2平方+3平方-4平方+5平方-…+99平方-100平方+101平方
=1+(3平方-2平方)+(4平方-3平方)+(101平方-100平方)
=1+(3-2)(3+2)+(4-3)(4+3)+(101-10)(101+100)
=1+2+3+…+101
=(1+101)101/2
=5151
5151/103=50余り1
したがって、Sを103で除する剰余は1です。

1+2+2の二乗+2の三乗+2の四乗+.+2の九十九二乗=

令a=1+2+2の二乗+2の三乗+2の四乗+.+2の九十九二乗
2 a=2+2の二乗+2の三乗+2の四乗+.+2の九十九二乗+2の百乗
減算します。左側は2 a-a=aです。
右側、同じオフセットです。
a=2の百乗-1
したがって、1+2+2の二乗+2の三乗+2の四乗+2の九十九二乗=2の百乗-1

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