이미 알 고 있 는 수열 SN = 2An + (- 1) ^ n 은 1 보다 크 면 임 의 m 가 4 보다 1 / A4 + 1 / A5 + 1 / A6 +. + 1 / Am 이 7 / 8 보다 작 음 을 증명 합 니 다. 나 는 An = [2 ^ (n - 1) - 2 (- 1) ^ n] / 3 을 산출 한다.

이미 알 고 있 는 수열 SN = 2An + (- 1) ^ n 은 1 보다 크 면 임 의 m 가 4 보다 1 / A4 + 1 / A5 + 1 / A6 +. + 1 / Am 이 7 / 8 보다 작 음 을 증명 합 니 다. 나 는 An = [2 ^ (n - 1) - 2 (- 1) ^ n] / 3 을 산출 한다.

앤 = [2 ^ (n - 1) - 2 (- 1) ^ n] / 3 = (2 / 3) [2 ^ (n - 2) + (- 1) ^ (n - 1)].
A4 = 2.
만약 m 가 짝수 라면
1 / A4 + 1 / A5 + 1 / A6 +... + 1 / Am
= 1 / A4 + (1 / A5 + 1 / A6) +... + [1 / A (m - 1) + 1 / Am]
그 중 1 / A (m - 1) + 1 / Am
= (3 / 2) {1 / [2 ^ (m - 3) + 1 + [2 ^ (m - 2) - 1]}
= (3 / 2) {[2 ^ (m - 3) + 1 + 2 ^ (m - 2) - 1] / [2 ^ (m - 3) + 1] [2 ^ (m - 2) - 1]}
= (3 / 2) {[2 ^ (m - 3) + 2 ^ (m - 2) / [2 ^ (2m - 5) - 2 ^ (m - 3) + 2 ^ (m - 2) - 1]
＜ (3 / 2) {[2 ^ (m - 3) + 2 ^ (m - 2)] / [2 ^ (2m - 5)] [∵ - 2 ^ (m - 3) + 2 ^ (m - 2) - 1 ＞ 0]
= (3 / 2) [1 / 2 ^ (m - 3) + 1 / 2 ^ (m - 2)]
∴ 1 / A4 + 1 / A5 + 1 / A6 +.. + 1 / Am
= 1 / A4 + (1 / A5 + 1 / A6) +... + (1 / A (m - 1) + 1 / Am)
＜ (1 / 2) + (3 / 2) [1 / 2 ^ 3 + 1 / 2 ^ 4 + 1 / 2 ^ 5 +.. + 1 / 2 ^ (m - 2)]]
= (1 / 2) + (3 / 2) (1 / 4) [1 - 1 / 2 ^ (m - 4)]
＜ (1 / 2) + (3 / 8)
= 7 / 8.
m 가 홀수 일 때 m + 1 은 짝수 이기 때문에
1 / A4 + 1 / A5 + 1 / A6 +... + 1 / Am
＜ 1 / A4 + 1 / A5 + 1 / A6 +... + 1 / Am + 1 / A (m + 1)
＜ 7 / 8 이다.
종합 하여 명제 가 입증 되다.