求線性微分方程y'-2y=-2x+3的通解

求線性微分方程y'-2y=-2x+3的通解

類型為y'+p（x）y=q（x）. p（x）=-2，q（x）=-2x+3，
-2x是p（x）的一個原函數.
再求∫q（x）e^（-2x）dx=∫（-2x+3）e^（-2x）dx=∫（-2x）e^（-2x）dx+3∫e^（-2x）dx=[∫（-2x）e^（-2x）dx]-（3/2）e^（-2x）
而其中第一項
∫（-2x）e^（-2x）dx=-（1/2）∫（-2x）e^（-2x）d（-2x）=-（1/2）∫（-2x）d（e^（-2x））
=-（1/2）[（-2x）e^（-2x）-∫（e^（-2x）d（-2x）]=-（1/2）[（-2x）e^（-2x）-（e^（-2x）]+C0，（C0為任意常數）
所以∫q（x）e^（-2x）dx=xe^（-2x）-e^（-2x）+C1，（C1為任意常數）
由解的公式，得：
y=e^（2x）[C+∫q（x）e^（-2x）dx]=e^（2x）[C+xe^（-2x）-e^（-2x）]，（C為任意常數）
故通解為：y=Ce^（2x）+x-1，（C為任意常數）
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（代入方程驗證，成立.）

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