선형 미분 방정식 y'-2y=-2x+3 의 통 해 를 구하 다.

선형 미분 방정식 y'-2y=-2x+3 의 통 해 를 구하 다.

유형 은 y'+p(x)y=q(x).p(x)=-2,q(x)=-2x+3,
-2x 는 p(x)의 원 함수 이다.
8747 q(x)e^(-2x)dx=8747(-2x+3)e^(-2x)dx=8747(-2x)e^(-2x)dx+3 8747 e^(-2x)dx=[8747(-2x)e^(-2x)dx]-(3/2)e^(-2x)
그 중 첫 번 째 는
∫(-2x)e^(-2x)dx=-(1/2）∫(-2x)e^(-2x)d(-2x)=-(1/2）∫(-2x)d(e^(-2x))
=-(1/2)[(-2x)e^(-2x)-8747(e^(-2x)d(-2x)]=-(1/2)[(-2x)e^(-2x)-(e^(-2x)]+C0,(C0 은 임 의 상수)
그래서 8747 q(x)e^(-2x)dx=xe^(-2x)-e^(-2x)+C1,(C1 은 임 의 상수)
풀이 공식
y=e^(2x)[C+8747 q(x)e^(-2x)dx]=e^(2x)[C+xe^(-2x)-e^(-2x)],(C 는 임 의 상수)
그러므로 통해:y=Ce^(2x)+x-1,(C 는 임 의 상수)
=========
(방정식 검증,성립.)