求微分方程y''=e^(2y)的特解x=0時y=y'=0;寫清步驟的加分

求微分方程y''=e^(2y)的特解x=0時y=y'=0;寫清步驟的加分

如下:
不顯含x型
令y'=p,y“=pdp/dy
原微分方程為
pdp/dy=e^(2y)
即pdp=e^(2y)dy
兩邊積分
∫pdp=∫e^(2y)dy
得到p²;=e^(2y)+C'
初始條件x=0,y=y'=0,得C'=-1
p=±√[e^(2y)-1]=dy/dx
分離變數
dy/√[e^(2y)-1]=±dx
凑微分
1/√[1-e^(-2y)]d(e^-y)=±dx
兩邊積分得
arcsine^(-y)=±x+C“
初始條件x=0,y=y'=0
得C“=π/2
所以微分方程特解為
arcsine^(-y)=±x+π/2
或者sin(±x+π/2)=e^(-y);cosx=e^(-y)