如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交於點O，E、F分別是OA、OB的中點.（1）求證：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的長.

如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交於點O，E、F分別是OA、OB的中點.（1）求證：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的長.


（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD‖BC∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（兩直線平行，內錯角相等）∴∠OCB=∠OBC∴∠DAE=∠CBF又∵AE=12OA，BF=12OB∴AE=BF∴△ADE≌△BCF；（2）過點F作FG⊥CD於點G，∴∠DGF=90°∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DCB=90°∴∠DGF=∠DCB又∵∠FDG=∠BDC∴△DFG∽△DBC∴FGBC＝DFDB＝DGDC由（1）可知F為OB的中點，所以DF=3FB，得DFDB＝34∴FG4＝34＝DG8∴FG=3，DG=6∴GC=DC-DG=8-6=2在Rt△FGC中，CF＝FG2+GC2＝9+4＝13cm.（說明：其他解法可參照給分，如延長CF交AB於點H，利用△DFC∽△BFH計算.）

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