O是三角形ABC外接圓的圓心連接AO交BC於D連接BO交AC於E連接CO交AB於F，R為半徑，求證：1/AD+1/BE+1/CF＝2/R

O是三角形ABC外接圓的圓心連接AO交BC於D連接BO交AC於E連接CO交AB於F，R為半徑，求證：1/AD+1/BE+1/CF＝2/R

設ha，hb，hc分別是△ABC邊BC，CA，AB上的高，BC=a，CA=b，AB=c，S表示其面積.∵1/AD=cos（B-C）/ha，1/BE=cos（C-A）/hb，1/CF=cos（A-B）/hc S=（sinA*bc）/2=2R^2*4sinA*sinB*sinC∴1/AD+1/BE+1/CF =a*cos（B-C）/（2S）+b*cos（C-A）/（2…

銳角三角形△ABC的外心為O，外接圓半徑為R，延長AO，BO，CO，分別與對邊BC，CA，AB交於D，E，F；證明：1AD+1BE+1CF＝2R.

證明：延長AD交⊙O於M，由於AD，BE，CF共點O，ODAD＝S△OBCS△ABC，OEBE＝S△OACS△BAC，OFCF＝S△OABS△CAB，…5’則ODAD+OEBE+OFCF＝1…①…10’而ODAD＝R−DM2R−DM＝1−R2R−DM＝1−RAD，…15’同理有，OEBE＝1−RBE， ；OFCF＝1−RCF，…20’代入①得，（1−RAD）+（1−RBE）+（1−RCF）＝1…②所以 ；1AD+1BE+1CF＝2R. ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；…25’

圓內接銳角三角形ABC，分別連接AO、BO、CO交BC、AC、AB於D、E、F，求證1/AD+1/BE+1/CF=2/R

設ha，hb，hc分別是△ABC邊BC，CA，AB上的高，BC=a，CA=b，AB=c，S表示其面積.
∵1/AD=cos（B-C）/ha，1/BE=cos（C-A）/hb，1/CF=cos（A-B）/hc
S=（sinA*bc）/2=2R^2*4sinA*sinB*sinC
∴1/AD+1/BE+1/CF
=a*cos（B-C）/（2S）+b*cos（C-A）/（2S）+c*cos（A-B）/（2S）
=[a*cos（B-C）+b*cos（C-A）+c*cos（A-B）]/（2S）
=R*[sinA*con（B-C）+sinB*cos（C-A）+sinC*cos（A-B）]/S
=（R/S）*[sin（B+C）*con（B-C）+sin（C+A）*cos（C-A）+sin（A+B）*cos（A-B）]
=（R/S）*[sin（2A）+sin（2B）+sin（2C）
=（R/S）*[4sinA*sinB*sinC]
=（R/S）*[S/（2R^2）]=2/R.

在矩形ABCD中，AP垂直BC於P，且PD=3PB，則角ADB=？

題目有誤，應為AP垂直BD於P
因為ABCD是矩形，AP垂直BC於P
所以△ABP相似於△DAP
所以AP的平方=BP*DP
而PD=3PB
所以AP=根號3PB=根號3/3PD
又因為AP垂直BC於P
tanADB=AP/PD=根號3/3
角ADB=30度

在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點P是BC邊所在直線上的點，且AP=5，連接PD交對角線AC於E，求AE.

當P在BC之間AP=5 AB=4則BP=3 PC=6-BP=3
又AC²；=AB²；+DC²；則AC=2*根號13
因為三角形ADE∽三角形PEC
所以AD:PC=AE:EC=6:3=2:1
囙此AE=2/3*AC=4/3*根號13

矩形ABCD的對角線AC.BD相交於點O，P為矩形外一點，且AP垂直PC，求證PB垂直PD.
沒圖

連結PO
角APC=90度
所以OA=OP=OC
又因為OB=OD=OA
所以OP=OB=OD
所以角BPD=90度

在一個等邊三角形ABC中有一點P，PA=6，PB=8，PC=10，求這三角形ABC的面積

假定等邊△ABC的邊長為k，作BC邊上的高AD，則BD=k/2，由畢氏定理得：AD²；=AB²；-BD²；=k²；-k²；/4=3k²；/4AD=（√3）k/2面積S=1/2×BC×AD=1/2×k×（√3）k/2=（√3）k²；/4以PA為邊向△ABC外作一等…

如圖，P是正三角形ABC內一點，且PA=8，PB=6，PC=10，求三角形ABC面積？

將△APB沿逆時針方向旋轉60°，即使得邊AB與AC重合.P點轉至D點.易得△ADP為正三角形.可得PD=8，CD=PB=6，又PC=10，易得∠PDC為Rt∠.可得∠ADC為150°.從而∠APB為150°.根據余弦定理可得邊AB²；=PB²；+PC²；-2P…

點P是等邊三角形ABC內部一點，PA=3，PB=4，PC=5，則三角形ACP的面積是______.

如圖，把△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到△ACD，則AD=PA=3，CD=PB=4，∴△APD是等邊三角形，∴PD=PA=3，∵PD2+CD2=32+42=25，PC2=52=25，∴PD2+CD2=PC2，由畢氏定理逆定理得，△PCD是直角三角形，∴∠ADC=150°，S四邊形APCD=S△APD+S△PCD=12×3×（3×32）+12×3×4=934+6，過點C作CE⊥AD交AD的延長線於E，則∠CDE=180°-∠ADC=180°-150°=30°，∴CE=12CD=12×4=2，∴S△ACD=12AD•CE=12×3×2=3，∴S△ACP=S四邊形APCD-S△ACD=934+6-3=934+3.故答案為：934+3.

已知：在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC於點D，在劣弧AD上取一點E使∠EBC=∠DEC，延長BE依次交AC於G，交⊙O於H.求證：AC⊥BH.

證明：連接AD，∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，∴AC⊥BH.