設A為n階實矩陣，A^T為A轉置矩陣，證明：R（A）=R（A^TA） 回答即使再給100分

設A為n階實矩陣，A^T為A轉置矩陣，證明：R（A）=R（A^TA） 回答即使再給100分

我們利用這個性質：若A、B均為n階矩陣，那麼必有
r（AB）≤min｛r（A），r（B）｝的推廣定理，這在北大版高代中提到過.
則r（A）= r（AE）= r（A*A^T*A）≤r（A^T*A）≤r（A）
（這一步就是利用上面定理的不等式來放縮，用到這樣一個數學思想：要證明a=b，只要證明a≥b和a≤b即可）
也就是我們得到了r（A）≤r（A^T*A）≤r（A），由三秩相等定理可得：
r（A）= r（A^T*A）.證畢.

已知m×n矩陣A的秩為n-1，α1，α2是齊次線性方程組AX=0的兩個不同的解，k為任意常數，則方程組AX=0的通解為（）
A. kα1B. kα2C. k（α1+α2）D. k（α1-α2）

由m×n矩陣A的秩為n-1，知AX=0的基礎解系只含有一個解向量囙此，要構成基礎解系的這個解向量，必須是非零向量.已知α1，α2是齊次線性方程組AX=0的兩個不同的解∴α1-α2一定是AX=0的非零解∴AX =0的通解可表示為k（…

設A是n階方陣，如有非零矩陣B使AB=0，證明|A|=0.

用反證法.若R（A）=N，則A可逆.A^（-1）[AB] = A^（-1）*0 = 0，又A^（-1）[AB] = B，囙此，B=0.與B不等於0衝突.故，R（A）