設n階方陣A的伴隨矩陣為A*,證明:(1)若|A|=0,則|A*|=0; (2)|A*|=|A|^(n-1) 第一問可用反正法

設n階方陣A的伴隨矩陣為A*,證明:(1)若|A|=0,則|A*|=0; (2)|A*|=|A|^(n-1) 第一問可用反正法


(1)
證:
如果r(A)



設A為n階矩陣,證明r(A^n)=r(A^(n+1))
線性代數


如果知道Jordan標準型的話就顯然了.
如果不知道的話就證明A^{n+1}x=0和A^n x=0同
如果A非奇异則顯然成立,否則利用
n-1 >= rank(A)>= rank(A^2)>=…>= rank(A^n)>= rank(A^{n+1})>=0
中間一定有兩個相鄰的項相等,即A^k x=0和A^{k+1}x=0同解,從而A^{n+1}x=0和A^n x=0同解.