三角形外心、內心、重心及垂心性質的向量運算式

外心是三角形各邊垂直平分線的交點，到每個頂點的距離相等.內心是三角形每個角的角平分線的交點，到三邊距離相等.重心是三邊中線的交點.垂心是三高的交點.至於運算式，你知道這些性質就清楚了.希望能幫到你，（*^__^*）（*…

平面向量與三角形四心的公式

這是我整理的一些內容，希望對你有所幫助：
【一些結論】：以下皆是向量
1若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0
2若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC（內積）
3若P是△ABC的內心aPA+bPB+cPC=0（abc是三邊）
4若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|），λ∈[0，+∞）則直線AP經過△ABC內心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC），λ∈[0，+∞）經過垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC），λ∈[0，+∞）
或AP=λ（AB+AC），λ∈[0，+∞）經過重心
8.若aOA=bOB+cOC，則0為∠A的旁心，∠A及∠B，C的外角平分線的交點
【以下是一些結論的有關證明】
1.
O是三角形內心的充要條件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延長CO交AB於D，根據向量加法得：
OA=OD+DA，OB=OD+DB，代入已知得：
a（OD+DA）+b（OD+DB）+cOC=0，
因為OD與OC共線，所以可設OD=kOC，
上式可化為（ka+kb+c）OC+（aDA+bDB）=0向量，
向量DA與DB共線，向量OC與向量DA、DB不共線，
所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量，
由aDA+bDB=0向量可知：DA與DB的長度之比為b/a，
所以CD為∠ACB的平分線，同理可證其它的兩條也是角平分線.
必要性：
已知O是三角形內心，
設BO與AC相交於E，CO與AB相交於F，
∵O是內心
∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
過A作CO的平行線，與BO的延長線相交於N，過A作BO的平行線，與CO的延長線相交於M，
所以四邊形OMAN是平行四邊形
根據平行四邊形法則，得
向量OA
=向量OM+向量ON
=（OM/CO）*向量CO+（ON/BO）*向量BO
=（AE/CE）*向量CO+（AF/BF）*向量BO
=（c/a）*向量CO+（b/a）*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2.
已知△ABC為斜三角形，且O是△ABC所在平面上的一個定點，動點P滿足向量OP=OA+入{（AB/|AB|＾2*sin2B）+AC/（|AC|＾2*sin2C）}，
求P點軌跡過三角形的垂心
OP=OA+入{（AB/|AB|＾2*sin2B）+AC/（|AC|＾2*sin2C）}，
OP-OA=入{（AB/|AB|＾2*sin2B）+AC/（|AC|＾2*sin2C）}，
AP=入{（AB /|AB|＾2*sin2B）+AC /（|AC|＾2*sin2C）}，
AP•BC=入{（AB•BC /|AB|＾2*sin2B）+AC•BC /（|AC|＾2*sin2C）}，
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos（180°-B）/（|AB|＾2*sin2B）+|AC|•|BC| cosC/（|AC|＾2*sin2C）}，
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/（|AB|＾2*2sinB cos B）+|AC|•|BC| cosC/（|AC|＾2*2sinC cosC）}，
AP•BC=入{-|BC|/（|AB|*2sinB）+|BC|/（|AC|*2sinC）}，
根據正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB，所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/（|AB|*2sinB）+|BC|/（|AC|*2sinC）=0，
即AP•BC=0，
P點軌跡過三角形的垂心
3.
OP=OA+λ（AB/（|AB|sinB）+AC/（|AC|sinC））
OP-OA=λ（AB/（|AB|sinB）+AC/（|AC|sinC））
AP=λ（AB/（|AB|sinB）+AC/（|AC|sinC））
AP與AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共線
根據正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB，
所以|AB|sinB=|AC|sinC，
所以AP與AB+AC共線
AB+AC過BC中點D，所以P點的軌跡也過中點D，
∴點P過三角形重心.
4.
OP=OA+λ（ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|）
OP=OA+λ（ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|）
AP=λ（ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|）
AP•BC=λ（AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|）
=λ（[|AB|•|BC|cos（180°-B）cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0，
所以向量AP與向量BC垂直，
P點的軌跡過垂心.
5.
OP=OA+λ（AB/|AB|+AC/|AC|）
OP=OA+λ（AB/|AB|+AC/|AC|）
OP-OA =λ（AB/|AB|+AC/|AC|）
AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|）
AB/|AB|、AC/|AC|各為AB、AC方向上的組織長度向量，
向量AB與AC的單位向量的和向量，
因為是單位向量，模長都相等，構成菱形，
向量AB與AC的單位向量的和向量為菱形對角線，
易知是角平分線，所以P點的軌跡經過內心.

向量組α1，α2，α3.αs線性無關的充要條件是 A.α1，α2，α3.αs均不是零向量 B.α1，α2，α3.αs中任意兩個向量都不成比例 C.α1，α2，α3.αs中任一個向量均不能由其餘S-1個向量線性表示 D.α1，α2，α3.αs一定是正交非零向量組

（C）正確.
（A）是必要非充分
（B）必要非充分
（D）充分非必要

向量組A線性相關，A=0？線性不相關，A不等於0？如題

題目描述不嚴格.根據題意，向量組A由n個n維向量組成但題目中出現A=0估計是向量組A構成的矩陣的行列式等於0你參攷這個結論吧：設A =（a1，a2，…，an）是n*n矩陣則a1，a2，…，an線性相關的充分必要條件是|A| = 0或a1，…

向量組A線性相關，則|A|等於零嗎其中A不一定為方陣

A不是方陣就沒有行列式一說
如果A是方陣，那一定有|A|=0
證：
因為可以做基本行變換，把某一行變為0
即
a1
a2
a3
…
an
因為有不全為0的k1，…，kn使得
k1a1+k2a2+…+knan=0
找一個ki≠0
可以把第一行乘以k1/ki，第二行乘以k2/ki…，第n行乘以kn/ki都加到第i行
可得第i行變為0，算行列式時，再用第i行展開即得|A|=0

設β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α4，β4=α4+α1證明向量組β1，β2，β3，β4線性相關

β1 -β2 +β3 -β4 = 0
所以線性相關

三角形外心、內心、重心及垂心性質的向量運算式