AM是圓O的直徑，過圓O上一點B作BN⊥AM，其延長線交圓O於點C，弦CD交AM於點E.（1）如果CD⊥AB，求證EN=N

AM是圓O的直徑，過圓O上一點B作BN⊥AM，其延長線交圓O於點C，弦CD交AM於點E.（1）如果CD⊥AB，求證EN=N

因為BC是圓O的弦，AM是圓O的直徑，所以N是BC中點
因為CD⊥AB，又N是BC中點，所以EN=BN=CN=1/2BC

AM是圓O直徑圓O上一點B作BN垂直於AM，其延長線交圓O於C弦CD交AM於ECD交AB於FCD=AB證CE方=EF*ED

證明：
首先，根據垂徑定理，我們可以通過證明三角形BEN與CEN的全等來得出
BE=CE的結論，
那麼，題設就轉化成了BE^2=EF*ED，
要證明這個命題，只要證明三角形BEF與DEB相似，
這兩個三角形有公共角∠DCB，
囙此只要證明∠ABE＝∠BDC即可，
首先，利用垂徑定理，可知∠ACE=∠ABD（證明全等），
其次，由於AB=CD，我們可以通過證明三角形ABD與CDB的全等，得出四邊形ACBD是等腰梯形的結論，
所以我們有：∠ACD=∠BDC=∠ABD
囙此∠BDC=∠ABE，
則三角形BEF與DEB相似，原命題成立.
證畢.

ab是圓o的直徑，cd為非直徑的弦，am垂直cd交cd於m，bn垂直cd於n，求證，cm=dn a在左下方，b在右上方，m，n均在圓外.

過圓心O點向CD做垂線0H交CD於H
在梯形ABNM中，AO=BO，OH//AM//BN
所以OH為該梯形中位線，所以MH=NH.（1）
又0H垂直於CD，所以CH=DH.（2）
（1）-（2）得：CM=DN

如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD於點M，AM=18，BM=8，求CD的長.

連接OC，
∵AM=18，BM=8，
∴半徑OC=OA=OB=13，
∴OM=5，
∵直徑AB⊥弦CD於點M，
∴CD=2CM=2DM，
在Rt△OCM中，由畢氏定理得：CM=
132−52=12，
∴CD=24.

如圖，△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且∠OBC=∠OCB，求證：AO⊥BC.

證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角），
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠ABO=∠ACO，OB=OC（等角對等邊），
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠OAB=∠OAC，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC（等腰三角形三線合一）.

如圖，△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且∠OBC=∠OCB，求證：AO⊥BC.

證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角），
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠ABO=∠ACO，OB=OC（等角對等邊），
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠OAB=∠OAC，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC（等腰三角形三線合一）.

如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC，求證：AO⊥BC.

證明：
延長AO交BC於D
在△ABO和△ACO中，
AB=AC（已知），
OB=OC（已知），
AO=AO（公共邊）
∴△ABO≌△ACO（SSS）
∴∠BAO=∠CAO
即∠BAD=∠CAD（全等三角形的對應角相等）
∴AD⊥BC，
即AO⊥BC（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合）

在圓O中，設半徑為R，弦AB、CD互相垂直，連接AD、BC.證明：AD平方+BC平方… 在圓O中，設半徑為R，弦AB、CD互相垂直，連接AD、BC.證明：AD平方+BC平方=4R平方

證明：
作直徑AE，連接BE
∵AE是直徑
∴∠ABE=90°
∵AB⊥CD
∴BE‖CD
∴弧CE=弧BD
∴弧BC=弧DE
∴BC=DE
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²=4R²
∴AD²+BC²=4R²

在圓心中，弦AD=BC，連結AB，CD求證：AB=CD 具體證明！要因為，所以！

連接AC，證三角形ABC和三角形ACB全等（AAS）用同弧所對的圓周角相等證明.

如圖，⊙O中的弦AB=CD，求證：AD=BC.

證明：∵⊙O中的弦AB=CD，
∴
AB=
CD，
∴
AB-
BD=
CD-
BD，
∴
AD=
BC，
∴AD=BC.