如圖圓O1與O2的半徑分別是5cm和4cm，兩圓交與A，B點，且AB=6cm求圓心距O1O2的長

如圖圓O1與O2的半徑分別是5cm和4cm，兩圓交與A，B點，且AB=6cm求圓心距O1O2的長

設AB與O！O2的交點為C
因為AB垂直於O1O2
根據畢氏定理易得
O1C=4
O2C=根號7
故圓心距為4+根號7

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續下去.記圓On的面積為an（n∈N）. （Ⅰ）證明{an}是等比數列； （Ⅱ）求lim n→∞（a1+a2+…+an）的值.

（Ⅰ）證明：記rn為圓On的半徑，
則r1＝l
2tan30°＝
3
6l，
rn−1−rn
rn−1+rn＝sin30°＝1
2.
所以rn＝1
3rn−1（n≥2），
於是a1＝πr
1
2
＝πl2
12，
an
an−1＝（rn
rn−1）2＝1
9
故{an}成等比數列.
（Ⅱ）因為an＝（1
9）n−1a1（n∈N），
所以lim
n→∞（a1+a2+…+an）＝a1
1−1
9＝3πl2
32.

在邊長為L的等邊三角形ABC中圓O1為△ABC的內切圓，圓O2與O1外切，且與AB、BC相切… 圓On+1與On外切，且與AB、BC相切.如此無限繼續下去，記圓On的面積為an（n∈N*） 求數列｛an｝的通項公式

圓O2與O1的切線切出一個小等邊三角形EBF其邊長為L/3[樓主證明吧！]
O1的半徑＝r1＝（√3/6）L[也請樓主證明] .∴O2的半徑＝（√3/6）（L/3）
On的半徑＝rn＝（√3/6）（L/3^（n-1））
On的面積為an＝π（rn）²＝πL²/[4X3^（2n-1）]

已知：如圖，圓O1與圓O2相交於AB兩點，且圓心O1在圓O2上，圓o2的直徑AC交圓O1與點D，CB的延長線交圓O1於E，說明AD=BE

連接AB，在⊙O2中，
∵AC是直徑
∴∠ABC=90°，∠ABE=90°
在⊙O1中，連接AE和ED
∵∠ABE=90°
∴AE是直徑，O1點在AE上，∠EDA=90°
連接CO1，
∵O1點在⊙O2上
∴∠CO1A=90°，
又∵AO1=O1E
∴CO1是AE的垂直平分線，
則CE=CA，∠CEA=∠CAE；
在Rt△EDA與Rt△ABE中，
AE=AE
∠BEA=∠DAE，
∴Rt△EDA≌Rt△ABE，
∴AD=BE.

如圖，圓O2與半圓O1內切於C，與半徑的直徑AB切與點D，若AB=6，圓O2的半徑為1.求∠ABC

我們只要能够找出角CO1B的度數利用同弦圓周角是圓心角的一半進行求解就行
首先因為O2半徑為1 O1半徑為3所以可以知道O2D=1 O2O1=CO1-CO2=2
O1B與O2相切所以O2D垂直於O1B我們就可以知道角CO1B的度數是30°那麼角CAB的度數是15°角CBA的度數是90°-15°=75°

已知圓O的直徑AB=8，半徑OC垂直於AB，且OC是圓O1的直徑，圓O2分別與圓O內切，與圓O1外切，與AB相切.求證⊙O1分別與AB、⊙O相切.

額，我想問下一小問怎麼做.

已知：如圖，⊙O1與⊙O2相交於A、B，點O2在⊙O1上，AD是⊙O2的直徑，連接DB並延長交⊙O1於點C 求證：1 2AD＝ CD2−CO22.

證明：連接AB，
在△BAD和△CO2D中
∵∠BAD=∠C，∠D=∠D，
∴∠ABD=∠CO2D，
∵AD是⊙O2直徑，
∴∠ABD=90°=∠CO2D，
Rt△CO2D中，O2D=
CD2−CO
2
2
，
又∵O2D=1
2AD，
∴1
2AD=
CD2−CO
2
2
.

⊙O1與⊙O2外切於點P，過P點的直線AB與⊙O1和⊙O2相交於A、B，⊙O1的切線AD與⊙O2相交於點C、D.求證： BC= BD.

證明：如圖，過點P作兩圓的公切線MN.連接BD、PD、CB.
∵AD，⊙O1的切線，MN是公切線，
∴∠1=∠2=∠3=∠6.
∵∠4=∠5，∠BDC=∠5+∠6，∠BCD=∠1+∠4，
∴∠BDC=∠BCD，
∴
BC=
BD.

如圖圓O1與圓O2相交於AB兩點.圓O1在圓O2上，圓O2的弦bc切圓O1於點b，延長bo1，ca叫與p，pb與圓o1交與d 求ac是圓o1的切線

連結AO1.
∵BC切⊙O1於B，∴∠CBO1＝90°.
∵AO1BC是圓內接四邊形，∴∠PAO1＝∠CBO1＝90°，∴AC是⊙O1的切線.

已知：如圖，⊙O1與⊙O2相交於A、B兩點，O1在⊙O2上，⊙O2的弦BC切⊙O1於B，延長BO1、CA交於點P、PB與⊙O1交於點D. （1）求證：AC是⊙O1的切線； （2）連接AD、O1C，求證：AD‖O1C； （3）如果PD=1，⊙O1的半徑為2，求BC的長.

（1）證明：連接O1A；∵BC是⊙O1的切線，∴∠O1BC=90°.∵∠O1AP是圓O2的內接四邊形的外角，∴∠PAO1=∠O1BC=90°，∴Q1A⊥AC，則AC是⊙O1的切線.（2）證明：連接AB，∵PC切⊙O1於點A，∴∠PAD=∠ABD.∵∠ACO1=∠…