如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CE⊥CD交AB於E，DF⊥CD交AB於F，求證：AE=BF.

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CE⊥CD交AB於E，DF⊥CD交AB於F，求證：AE=BF.

證明：過O作OG⊥CD，由垂徑定理可知OG垂直平分CD，則CG=DG，
∵CE⊥CD，DF⊥CD，OG⊥CD，
∴CE‖OG‖DF，
∵CG=DG，
∴OE=OF，
∵OA=OB，
∴AE=BF.

如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，分別過A、B兩點作直線CD的垂線，垂足分別為E、F.求證：EC=DF.

證明：過點O作OM⊥CD於點M，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，
∵AE⊥EF，OM⊥EF，BF⊥EF，
∴AE‖OM‖BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OB，
∴OM是梯形AEFB的中位線，
∴EM=FM
∴EM-CM=FM-DM，即EC=DF

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CE⊥CD交AB於E，DF⊥CD交AB於F，求證：AE=BF.

證明：過O作OG⊥CD，由垂徑定理可知OG垂直平分CD，則CG=DG，
∵CE⊥CD，DF⊥CD，OG⊥CD，
∴CE‖OG‖DF，
∵CG=DG，
∴OE=OF，
∵OA=OB，
∴AE=BF.

如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交於點M，AE⊥CD於E，BF⊥CD於F.若CM=4，MD=3，BF:AE=1:3，則⊙O的半徑是______.

由題意得，AM×MB=CM×MD=12①，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE‖BF，
∴BM:AM=BF:AE=1:3②，
聯合①②可得：AM=6，BM=2，
∴AB=AM+MB=8，
∴⊙O的半徑是4.
故答案為：4.

已知圓o的弦CD與直徑AB垂直於F，點E在CD上，且AE=CE.求證，CA²=CE·CD

^2是平方
直徑AB⊥弦CD，由垂徑定理得AB平分CD，所以AB垂直平分CD
則AC=AD，得∠ACD=∠D
又AE=CE，所以∠CAE=∠ACE，所以∠CAE=∠D
由∠CAE=∠D，且公共角∠ACE=∠DCA
得△CAE∽△CDA，所以CA/CD=CE/CA
即CA^2=CE*CD

如圖：AB、AC是⊙O的兩條弦，延長CA到點D，使AD=AB，若∠D=40°，求∠BOC的度數.

∵AD=AB，∠D=40°，
∴∠ABD=∠D=40°，
∴∠BAC=∠ABD+∠D=80°，
∴∠BOC=2∠BAC=160°.

如圖，AB，AC是圓O的兩條相等的弦，延長CA到點D，使AD=AC，

圖在哪兒呢

AB，AC是圓O的兩條弦，延長CA到D，使AD=AB，若∠ADB=40°，求∠BOC的度數

AD=AB，∠ADB=∠ABD=40，∠BAC=∠ADB+∠ABD=80
∠BOC和∠BAC是同弧所對圓心角和圓周角關係
∠BOC=2∠BAC=160

⊙O兩條弦AB，CD相交於點E，且AB=CD，連接BC，AD，求證AE=CE.注意：用圓周角的知識做.

證明：
連接AC
因為AB＝CD
所以弧ACB＝弧CAD
所以弧ACB－弧AC＝弧CAD－弧AC
所以弧AD＝弧BC
所以∠ACD＝∠CAB
即∠EAC＝∠ECA
所以AE＝CE
供參考！JSWYC

已知：如圖，圓O的兩條弦AB，CD相較於點E，且AB=CD，連結BC，AD.求證；AE=CE

由AB=CD得弧AB＝弧CD，兩弧都减去弧BD所得差相等即弧AD＝弧BC，
所以∠ACD＝∠BAC
所以AE＝CE