如圖所示，AC平分角BAD，CE垂直於AB.（2）角ADC+角ABC =180°時，求證2AE=AB+AD

如圖所示，AC平分角BAD，CE垂直於AB.（2）角ADC+角ABC =180°時，求證2AE=AB+AD

證明：
過C作AD的垂線，交AD的延長線於F（即垂足為F）.
已知∠ADC+∠ABC＝180°
而∠ADC+∠CDF＝180°
所以∠ABC＝∠CDF
即∠EBC＝∠FDC
已知CE⊥AB
所以∠DFC＝∠BEC=90°
又因為AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AF
所以CE=CF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）
所以三角形CDF全等於三角形CBE（AAS）
所以EB=FD（全等三角形的對應邊相等）
在直角三角形ACF和直角三角形ACE中
AC=AC，CE=CF
所以直角三角形ACF全等於直角三角形ACE（HL）
所以AF=AE（全等三角形的對應邊相等）
而AE=AB-EB，AF=AD+DF
所以AE+AF=AB-EB+AD+DF
而已證AF=AE，EB=DF
所以2AE=AB+AD
故AD+AB=2AE

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