在平面直角坐標系中，抛物線y=x^2上异於座標原點O的兩個不同動點A，B滿足AO⊥BO. （1）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程. （2）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

在平面直角坐標系中，抛物線y=x^2上异於座標原點O的兩個不同動點A，B滿足AO⊥BO. （1）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程. （2）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

（1）設直線AB為y=kx+b.聯立y=x^2和y=kx+b，得XaXb=-b，YaYb=b^2，又因為XaXb+YaYb=0.故b=1或0，b=0應該舍去，故直線AB恒經過定點（0,1）.可設直線為y=kx+1，聯立y=x^2與y=kx+1，得Xa+Xb=k，Ya+Yb=2，G為（k/3,1/3），注意重心座標是三點座標和的三分之一，則G恒在y=1/3該直線上.
（2）S△AOB=AO*BO/2=二分之根號下[（Xa^2+Ya^2）（Xb^2+Yb^2）].（Xa^2+Ya^2）（Xb^2+Yb^2）=2+Xa^2+Xb^2，Xa^2+Xb^2=k^2+4，S△AOB=二分之根號下（4+k^2），當k=0時，S△AOB有1這個最小值.

Elden Ring Premiere

RELATED INFORMATIONS