在平面直角坐標系中，點A（0,4）B（3,4）C（6,0），動點P從點A出發以1個組織/秒的速度在Y軸上向下運動 動點Q同時從點C出發以2個組織/秒的速度在x軸上向左運動，過點P作RP垂直與y軸，交OB於R，連接RQ.當點P與點O重合時，兩動點均停止運動.設運動的時間為t秒.（1）若t=1時，求點R的座標；（2）當3

在平面直角坐標系中，點A（0,4）B（3,4）C（6,0），動點P從點A出發以1個組織/秒的速度在Y軸上向下運動 動點Q同時從點C出發以2個組織/秒的速度在x軸上向左運動，過點P作RP垂直與y軸，交OB於R，連接RQ.當點P與點O重合時，兩動點均停止運動.設運動的時間為t秒.（1）若t=1時，求點R的座標；（2）當3

（1）∵A（0,4），B（3,4），
∴AB⊥y軸，AB=3.
∵RP⊥y軸，
∴∠OPR=∠OAB=90°.
又∠POR=∠AOB，
∴△OPR∽△OAB，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{PR}{AB}$.
當t=1時，AP=1，OP=3，
∴$\frac{3}{4}=\frac{PR}{3}$，
∴$PR=\frac{9}{4}$.
∵R的縱坐標等於OP的長，
∴點R的座標為（$\frac{9}{4}$，3）.
（2）如圖，過點B作BD⊥x軸於點D，則D（3,0）
在△BOC中，
∵OD=DC=3，且BD⊥OC，
∴OB=BC.
∵△OPR∽△OAB，
∴$\frac{OR}{OB}=\frac{OP}{OA}$，
∵在Rt△OBD中，$OB=\sqrt{O{D^2}+B{D^2}}=5$
∴$\frac{OR}{5}=\frac{4-t}{4}$，
∴$OR=\frac{20-5t}{4}$.
由題意得，AP=t，CQ=2t（0≤t≤4）.
分三種情况討論：
①當0≤t＜3時，即點Q從點C運動到點O（不與O重合）時，
∵OB=BC
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA
∵AB‖x軸，
∴∠BOC=∠ABO，∠BAC=∠ACO，
∵∠ABO＜ABC，∠BCO＞∠ACO，
∴∠BOC＜ABC，∠BOC＞∠BAC，
∴當0≤t＜3時，△ORQ與△ABC不可能相似.
②當t=3時，點Q與O重合時，△ORQ變成線段OR，故不可能與△ABC相似.
③如圖，當3＜t≤4時，即點Q從原點O向左運動時，
∵BD‖y軸
∴∠AOB=∠OBD
∵OB=BC，BD⊥OC
∴∠OBD=∠DBC
∴∠QOR=90°+∠AOB=90°+∠DBC=∠ABC9
當$\frac{OQ}{OR}=\frac{AB}{BC}$時，
∵OQ=2t-6，
∴$\frac{2t-6}{{\frac{20-5t}{4}}}=\frac{3}{5}$，
∴$t=\frac{36}{11}$.
當$\frac{OQ}{OR}=\frac{BC}{AB}$時，
同理可求得$t=\frac{172}{49}$.
經檢驗$t=\frac{36}{11}$和$t=\frac{172}{49}$均在3＜t≤4內，
∴所有滿足要求的t的值為$\frac{36}{11}$和$\frac{172}{49}$.

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0,2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角形APQ.當點P運動到原點O處時，記Q的位置為B.（1）求點B的座標；（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值；（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的座標；若不存在，請說明理由.

（1）過點B作BC⊥y軸於點C，
∵A（0,2），△AOB為等邊三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=根3，OC=AC=1，
即B（根3,1）；
（2）當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，不失一般性，
∵∠PAQ═∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB
∴△APO≌△AQB總成立，
∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立，
∴當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值90°；
（3）由（2）可知，點Q總在過點B且與AB垂直的直線上，可見AO與BQ不平行.
①當點P在x軸負半軸上時，點Q在點B的下方，
此時，若AB‖OQ，四邊形AOQB即是梯形，
當AB‖OQ時，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°.
又OB=OA=2，可求得BQ=根3，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=根3，
∴此時P的座標為（-根3,0）.
②當點P在x軸正半軸上時，點Q在B的上方，
此時，若AQ‖OB，四邊形AOQB即是梯形，
當AQ‖OB時，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°.
又AB=2，可求得BQ=2根3，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2根3，
∴此時P的座標為（2根3,0）.
綜上，P的座標為（-根3,0）或（2根3,0）.

在平面直角坐標系中，已知A（-1,2），B（2,1）在x軸上找一點P，使PA+PA的值最小，並求出點P的座標

設A1（-1，-2），
則對x軸上任一點P，由於A、A1關於x軸對稱，所以PA=PA1
囙此，PA+PB=PA1+PB>=A1B=√[（2+1）^2+（1+2）^2]=3√2
當且僅當A1、P、B在一條直線上時，PA+PB最小.
設P（x，0），則
（0+2）/（x+1）=（0-1）/（x-2）
解得x=1，囙此P（1,0）.

如圖，在平面直角坐標系中，點A的座標為（0，2），點P（t，0）在x軸上，B是線段PA的中點.將線段PB繞著點P順時針方向旋轉90°，得到線段PC，連結OB、BC.（1）判斷△PBC的形狀，並簡要說明理由；（2）當t＞0時，試問：以P、O、B、C為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出相應的t的值？若不能，請說明理由；（3）當t為何值時，△AOP與△APC相似？

（1）△PBC是等腰直角三角形，理由如下：∵線段PB繞著點P順時針方向旋轉90°，得到線段PC，∴PB=PC，∵B是線段PA的中點，∴∠BPC=90°，∴△PBC是等腰直角三角形.（2）當OB⊥BP時，以P、O、B、C為頂點的四邊形為平…