設X，Y都是n維列向量，且X^T*Y=1，矩陣A=E+X*Y^T，說明A是可逆矩陣，並求A^-1

設X，Y都是n維列向量，且X^T*Y=1，矩陣A=E+X*Y^T，說明A是可逆矩陣，並求A^-1

A^2=E+2X*Y^T+X*Y^TX*Y^T=E+3X*Y^T=3A-2E
A^2-3A=-2E
A（A-3E）=-2E
A^-1=0.5（3E-A）

設n維向量α（a，0,0.0，a），a

因為A與B可逆
所以E=AB=（E-αα^T）[E-（1/a）αα^T]=E-（1/a）αα^T-（1/a）（αα^T）^2
所以O=αα^T+（αα^T）^2
所以a^2+a=0
所以a=-1

設n維行列式a=（1/2,0，.，0,1/2），矩陣A=I-a^T，B=I+2a^Ta，其中I為n階單位向量，則AB=？
望高手指點，寫出詳細過程，感激不盡

我把單位矩陣I改成E，這樣可以看得清楚些
AB=（E-a^Ta）（E+2a^Ta）=E-a^Ta+2a^Ta-2（a^Ta）（a^Ta）=E+a^Ta-2a^T（aa^T）a
=E+a^Ta-2[（1/2）（1/2）+（1/2）（1/2）]a^Ta=E

設方陣A=E-2aaT，其中E為n階單位矩陣，a為n維組織列向量，證明：任意n維向量B都有//AB//=//B//

分三步：
1.因為a為n維組織列向量，所以有
a'a = 1（記a' = aT）
2.A'A =（E-2aa'）（E-2aa'）= E - 4aa' + 4aa'aa' = E-4aa'+4aa' = E
3.||AB|| =√（AB）'（AB）=√B'A'AB =√B'B = ||B||.