矩陣的初等變換有沒有技巧？還有怎麼辨別一個方陣有沒有可逆矩陣？

一般來說，將一個矩陣化為標準陣遵循下麵方法：先用第一行消掉下麵所有行的第一項，即用a11將a21，a31，……an1消為0再用第二行將下麵所有行的第二項消為0再用第三行將下麵所有行的第三項消為0依次做下去，直到不能消為止…

為什麼說：初等行變換相當於矩陣左乘一個可逆陣
（AE）->（EA^（-1））A*A^（-1）=E
對於上面這個式子
這個初等行變換與代數餘子式的矩陣有什麼關係麼？
最後說一下，給我他們的原理解釋，或者說給我一個可以看到原理的超連結.
千萬不要給我例題與句子，因為很多都是他告訴你了該這麼求，再是依葫蘆畫瓢，可能壓根兒不能證明什麼.
都要是比較原始的問題，我腦子的這根筋兒就是過不去這關，上邊兩個問題，最好都回答，如果實在沒有回答一個也是給分的.

我來回答第個問題，因為任何一個可逆矩陣都等價於組織陣，所以任何一個可逆陣都等於一些初等陣的乘積，又可以很容易驗證當矩陣左乘一個初等陣時相當於對它本身進行初等行變換，所以當矩陣左乘一個可逆陣時，相當於左乘一些初等陣，從而相當於對原矩陣進行初等行變換

舉例說明不要求可除條件而要求消去條件，即要求由aχ=ay可推出χ=y，由χ·a=y·a可推出χ=y，則G不見得是一個群，若G有限怎麼樣？

對於有限的G，如果已經是一個么半群的話，那麼它一定是群.任取一個x∈G，假設G不是群，那麼x^n一定不等於組織元e，對任意的n都成立.於是，由於G有限，{x^n}這個看起來無限的集合也必須有限，那麼必須存在y∈G，使得x^m=x^（m+n）=y（一定會有重複），於是x^m*e=x^m*x^n，則x^n=e，於是x的逆就可以定義為x^（n-1）∈G了.

AB均為m*n矩陣，試證明r（A+B）

這兩個不等式可以看成是同一個不等式.證明方法有多種，可以用子式的方法證明，也可以用向量組的表示的方法進行證明.以下以後一種方法進行證明.設A的列向量組為A1，A2，…An，B的列向量組為B1，B2，…，Bn.則A+B的列向量組…

設a，b分別是mn，ns矩陣且b為行滿值矩陣，證明：r（ab）=r（a）的詳細解題

證明：首先有r（AB）≤min（r（A），r（B））≤r（A）.
再由B為行滿秩，r（B）= n
所以B可經過初等行變換化為（En，B1）.
所以存在可逆矩陣P使PB =（En，B1），且有r（AP^（-1））=r（A）
故有r（AB）= r（（AP^（-1））（PB））= r（（AP^（-1））（En，B1））
= r（AP^（-1），AP^（-1）B1）≥r（AP^（-1））= r（A）.
綜上有r（AB）= r（A）#
此題用到分塊矩陣的方法以及多個知識點，需耐心領會！

設A為mn的矩陣，B為nm的矩陣，m>n，證明AB=0

應該是行列式|AB| = 0
因為A為m*n的矩陣
所以r（A）

設A為mn矩陣，B為ns矩陣，若AB=O，求證：r（A）+r（B）≤n

因為AB=0，所以B的每一列向量都是AX=0的解
（1）若秩（A）=n（即列滿秩），則AX=0只有零解，所以秩（B）=0，滿足條件；
（2）若秩（A）

證明矩陣中r（Em-AB）+n=r（En-BA）+m

大概是用等價標準型來證.其實我不太清楚，不過你可以看看這個網址：
裡面的例10，仿照他的方法應該就行了.

A是m*n矩陣則r（A）=r（A^TA）怎麼證明

命題需要A是實矩陣才成立
證明：
（1）設X1是AX=0的解，則AX1=0
所以A^TAX1=A^T（AX1）=A^T0=0
所以X1是A^TAX=0的解.
故Ax=0的解是A^TAX=0的解.
（2）設X2是A^TAX=0的解，則A^TAX2=0
等式兩邊左乘X2^T得X2^TA^TAX2=0
所以有（Ax2）^T（Ax2）=0
所以AX2=0. [長度為0的實向量必為0向量，此時用到A是實矩陣]
所以X2是AX=0的解.
故A^TAX=0的解是AX=0的解.
綜上知齊次線性方程組AX=0與A^TAX=O是同解方程組.
所以它們的基礎解系所含向量的個數相同
故有r（A）= r（A^TA）

所有矩陣的三秩都相等嗎？為什麼？（行秩，列秩，和矩陣的秩）

相等.矩陣的最根本理念是多個方程式，所謂秩就是把方程組化成最簡單的形式後，能一眼看出有哪幾個方程是多餘的，剩下的不多餘的式子的個數就是秩.
比如4x y=3
8x 2y=6
3x y=2
多餘一個式子，秩為2，行秩列秩均為2
如果這點真正理解了，對秩與解的關係等都會迎刃而解，不需背誦.這是我在學習中理解的，自我應用覺得很正確，並無教科書這樣寫.所以你可以憑自己的判斷理解力

矩陣的初等變換有沒有技巧？還有怎麼辨別一個方陣有沒有可逆矩陣？