矩陣行變換變為行簡化階梯形矩陣 -1 3 2 3 3 2 5 1 1 -2 -3 1

你上網隨便找個數學軟件都能計算.
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矩陣的數乘與矩陣的初等行變換
矩陣的初等行變換中有用一個非零數乘以矩陣的一行，但是根據矩陣的數乘法則，用一個數乘以矩陣應該是乘以矩陣的每一個元素啊？這有什麼不同啊

初等變換就是變換矩陣中元素的一些方法，比如其中兩行相加，相减，或稱某一行乘以一個常數，矩陣的乘法乘以一個數就是你說的矩陣所有元素乘以這個常數就是乘法的結果
你可能覺得乘法很直觀一個矩陣乘以一個數位等於了後面那個矩陣，初等變化沒有這麼簡單的邏輯關係，它只是一種改變矩陣樣子的辦法，也就是說它不是一種數學運算，就好像5乘以（x+1）=5x+5，初等變換就好像是我要把x+1變成5x+1，而這個改變在另一些地方（比如解方程）上面很有用
可能你還沒接觸到後面舉個簡單的例子，就像你解二元一次方程時候一樣，其中一個方程乘以一個常數然後兩個方程相减消去未知數，初等變換就是這個過程，只不過矩陣就好像一個很多未知數的方程一樣

矩陣初等行變換
設A是三階矩陣，將A的第一列與第二列交換得到B，再將B的第二列加到第三列得到C，則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為？

Q為{1 0 0
0 1 1
0 0 1}

設A為數域P上的n階矩陣，數a為A的n重特徵值，證明A=aE為數量矩陣

由已知，存在可逆矩陣Q滿足Q^-1AQ = diag（a，a，…，a）= aE
所以A = Q（aE）Q^-1 = aQQ^-1 = aE.

證明：若P^n中任意非零向量都是數域P上n級矩陣A的特徵向量，則A必為數量矩陣

Ae1=a1e1，Ae2＝a2e2，…，Aen＝anen，其中a1，a2，…，an是特徵值，e1，e2，…，en是組織陣的n個列，於是有AE＝ED，其中D是對角元為a1，a2，…，an的對角陣.即A＝D.再考慮（ei+ej）是A的特徵值，可知ai＝aj，即所有的對角元相等.

設A是數域P上的n階矩陣，數a為A的n重特徵值，如果A在P上相似於對角矩陣，證明A=aE為數量矩陣

由於A可對角化，故A的最小多項式無重根（這是個定理）
又由於a為A的n重特徵根，故A有n個初等因數，都為λ-a
故A的若當標準型為diag（a，a，…，a）
故存在可逆矩陣P使得P^（-1）AP=diag（a，a，…，a）=aE（此也為定理）
故A=PaEP^（-1）=aE
證畢

證明實數域上的行列式為1的n階方陣全體關於矩陣的乘法是n階可逆矩陣全體關於矩陣乘法所成群的正規子群

設實數域上的行列式為1的n階方陣全體構成的集合為H，n階可逆矩陣全體關於矩陣乘法所成群為，則對任意A，B∈H，|AB|=|A||B|=1，|A^-1|=|A|^-1=1，即AB∈H，A^-1∈H，所以H是一個子群，對於任意A∈G，B∈G，如果AB∈H，即|AB|=|A||…

證明：數域K上與所有n級可逆矩陣可交換的一定是N級數量矩陣.

去看下麵的連結

老師您好，請問：p是數域，A為其上的n級方陣，證明：存在可逆矩陣B，使得（AB）^2=AB

存在p上的可逆矩陣X和Y使得XAY=D，其中D具有diag{I，0}的形式，那麼取B=YX即可

設A為m乘n實矩陣，且r（A）=m

題目應該是A乘A的轉置為m階正定矩陣.
（AAT）T=AAT為對稱陣
任取m維向量x，考察xT（AAT）x=（（ATx）T）ATx
設xi為向量Ax的第i個元素，則（（ATx）T）ATx=x1*x1+…+xn*xn>=0
r（A）=m，ATx=0可推出x=0（原因是解空間維度為m-m=0）
囙此，僅當x=0時xT（AAT）x=0
A乘A的轉置為m階正定矩陣，命題得證

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