A、B為n階實對稱矩陣，且A與B有相同的特徵值，問A、B相似嗎？為什麼？

A、B為n階實對稱矩陣，且A與B有相同的特徵值，問A、B相似嗎？為什麼？

相似的，實對稱陣一定相似於對角陣，若A與B有相同特徵值，則它們相同於同一個對角陣，所以A與B相似.經濟數學團隊幫你解答，請及時採納.謝謝！

矩陣等價的充要條件是什麼？

矩陣的秩相等；相應的線性方程組同解.

判斷矩陣能否與一個對角陣相似的問題
2 0 0
矩陣A=1 2 -1
1 0 1
我知道矩陣A存在相似對角陣的充要條件是：如果A是n階方陣，它必須有n個線性無關的特徵向量
這道題的解答裏有一句話：矩陣的三個特徵值分別是1,2,2，當（A-2E）的秩為1時，有2個線性無關的特徵向量，這樣就能與一個對角矩陣相似.
請問這句話該怎麼理解，或者有什麼定理可以參照嗎？
解答裏有句話我寫錯了：“當（A-2E）的秩為1時，就有2個線性無關的特徵向量，這樣就能與一個對角矩陣相似。”它的意思是，只要秩是1了，就有2個線性無關的特徵向量，這句話有什麼定理可參照否？或者怎麼去理解？

不同特徵值的特徵向量肯定線性無關，所以這個矩陣的特徵向量相關的只可能是2的兩個特徵向量，而A-2E的秩為1時的特徵向量正是2對應的特徵向量，所以這兩個線性無關時就是整個矩陣有三個無關的特徵向量啊.
A-2E的特徵向量正是求特徵值為2的特徵向量
你可以算一下當特徵值是2的時候的特徵向量的過程，會發現第一步就是算A-2E，而且二重特徵值是2所以a-2e的秩為1.
其實他繞了一個小彎子，就是說求對應2的特徵向量有兩個無關向量.你可以找一個二重特徵向量的例子求一下特徵值，看看A-nE（n是二重特徵值）的秩是不是1，然後看看是不是兩個無關特徵向量體會一下就知道了.
恐怕光這麼寫你不會太明白……試一下.

怎麼樣判斷一個矩陣可以相似於對角形

若n階方陣A有n個不同的特徵值，則A相似於對角形
若對A的k重特徵值a，都有r（A-aE）=n-k，則A相似於對角形
此等價於A的屬於特徵值a的線性無關的特徵向量有k個

急求矩陣能否相似於對角陣
怎樣判斷下麵這個方陣能否相似於對角陣呢？
1 1 0
0 2 0
0 0 2

判斷一個矩陣能否對角化可以通過特徵值來判斷
對於n階方陣，若有n個不同的特徵值，那麼該方陣可對角化
若有重根，那麼判斷其代數重數與幾何重數是否相等，相等則可對角化，反之不可
對於這題，明顯特徵值是1和2（二重根，那麼代數重數是2）
把2代入求（2E-A）X=0的基礎解系，發現有兩個解向量
意味著其幾何重數也是2
所以該矩陣是可對角化的

對角矩陣相似問題
A=（aij）n*n，是上三角矩陣，a的主對角元相等，且至少有一個元素aij不等於0（i

上三角陣主對角線元素即為特徵值，由題意可知A的特徵值為a，且為n重.即他的代數重數為n.現要求A可對角化，必須幾何重數等於代數重數：即其次線性方程組（aE-A）X=0的解空間維數等於n，這就要求rank（aE-A）=0，進而A-aE=0由於…

矩陣A與一個對角陣相似.
矩陣A與一個對角陣相似，那他的伴隨陣與這個對角陣相似嗎？或者只與這個對角陣的伴隨陣相似，為什麼？

A的伴隨矩陣同與A相似的對角矩陣（記為M）的伴隨矩陣肯定是相似的就不用證了吧.（我是用特徵值算的，所有特徵值都相同，包括重數）
下麵重點討論與A的對角矩陣的情况.
當A是滿秩矩陣時，A* = |A| * A^（-1）.
如果要使A*與M相似，由相似的傳遞性，則要求M與M*相似.
取M為diag（1,2,3）.則M*為diag（6,3,2）.特徵值不一樣，故不相似（但是在二階的情况下可以證明是相似的）
所以說超過三階矩陣A*與M相似一般不成立.
當n階矩陣A不是滿秩矩陣時，設函數R（X）表示矩陣X的秩，則有
R（A*）= 1，當R（A）= n-1時
R（A*）= 0，當R（A）< n-1時
（至於為什麼，你用定義把A*表示出來，注意行列式的值與矩陣秩的關係即可）
相似矩陣的秩是不變的.與A相似的對角矩陣還是設為M.則
R（M）= R（A）
要M與A*相似秩必須相等，R（A）= R（M）= R（A*）
當R（A）= 0時候顯然成立.
當R（A）！=0時，只能是R（A）= 1，n=2才可能成立.這種情況下M與M*是相似的，由相似的傳遞性可以知道A*與M是相似的.
總的來說對於二階的情况，確實是相似的.超過二階除了及特殊的情况，一般都不相似.

准對角矩陣可對角化的充要條件是每一塊都可對角化，的必要性證明，麻煩給下思路，

利用空間的觀點比較簡單.
當然這裡需要用到一個結論：如果矩陣A可對角化，那麼我們知道A有特徵子空間的直和分解
那麼對A的任何不變子空間W，我們有
這個結論看起來簡單，但是證明起來並不是那麼好做的.提示一下，利用範德蒙德行列式！
這樣的話再來看本題，已知A是准對角陣
那麼我們知道V有A的不變子空間的直和分解
而A可對角化，囙此他有特徵子空間的直和分解，這樣利用前面的結論可知對於每個Mi，A限制在它上面的Ai顯然就有特徵子空間的直和分解
從而A在每個Mi上的限制可對角化

線性代數求大神：設A，B，A＋B，均為n階可逆矩陣，證明A^-1+B^-1為可逆矩陣，並求A^-1+B^-1的逆陣
我能看懂以下答案，但是我不懂——它第一步咋得出來的？咋就能“首先注意到”，我就沒注意到這樣乘啊，求大神訓示第一步咋想的T.T
首先注意到
A（A^{-1}+B^{-1}）B=B+A，
於是
A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}（A+B）B^{-1}，
從而有
（A^{-1}+B^{-1}）^{-1}=B（A+B）^{-1}A.

其實這已經很顯然了，如果你實在想不出來按下麵的方法試試先考慮A，B都是數的情况，這時候比矩陣還多一個乘法交換律可用通分可得1/A+1/B=（A+B）/（AB）（這步做一下不虧的，至少來說這是1階矩陣的結果，你最後做完的結果必須…

設a.b均為n階（n≥2）可逆矩陣，證明（AB）*=A*B*

因為A*A=AA*=IAIE，所以A*=A^（-1）IAI.A^（-1）表示A的逆，IAI表示A的行列式.
（AB）*=（AB）^（-1）IABI=B^（-1）A^（-1）IABI=B^（-1）IBI A^（-1）IAI=B*A*
這裡證明了（AB）*=B*A*
你的題目是要證明（AB）*=A*B*
那不兩個伴隨矩陣乘法可以交換了？是題目錯了吧！
舉個反例：如A=（1 2；0 1），B=（1 0；3 1）其中；表示分行，即A是倆行倆列的矩陣，第一行是1和2，第二行是0和1.A，B符合條件，但是等式（AB）*=A*B*不成立.