線性代數證明題（矩陣的秩） A是n階實方陣，求證：r（A*A^T）=r（A^T*A）=r（A）

線性代數證明題（矩陣的秩） A是n階實方陣，求證：r（AA^T）=r（A^TA）=r（A）

一方面，r（A^T*A）=r（A）；
由這兩方面可得r（A^T*A）=r（A）.
同理可得r（A*A^T）=r（A^T）＝r（A）.

線性代數：設三階實對稱矩陣A的秩為2，r1=r2=6是A的二重特徵值.
設三階實對稱矩陣A的秩為2，r1=r2=6是A的二重特徵值.若α1=（1,1,0）^T，α2=（2,1,1）^T，α3=（-1,2，-3）^T都是A的屬於特徵值6的特徵向量.（1）求A的另一特徵值及對應的特徵向量（2）求矩陣A

秩是2，另一特徵值是0.不同特徵值的特徵向量垂直，條件給了\alpha_1=（1,1,0），\alpha_2-\alpha_1=（1,0,1）是6的兩個特徵向量，所以（1,1,0）*（1,0,1）=（1，-1，-1）（叉乘）是0的特徵向量.第二問PAP^{-1}死算，懶得算了……╮（…

線性代數問題已知三階對稱矩陣A的一個特徵值為λ=2，對應的特徵向量α=（1,2，-1），且A的主對角線上的元素全為0，求A.
已知三階對稱矩陣A的一個特徵值為λ=2，對應的特徵向量α=（1，-1），且A的主對角線上的元素全為0，求A.

由已知可設A=
0 a b
a 0 c
b c 0
再由Aα=λα得
2a - b = 2
a - c = 4
b + 2c = -2
解得a=2，b=2，c=-2
所以A =
0 2 2
2 0 -2
2 -2 0

線性代數：設三階實對稱矩陣A的特徵值為λ1=-1，λ2=λ3=1，已知A的屬於λ1=-1的特徵向量為p1={0,1,1}
求出A的屬於特徵值λ2=λ3=1的特徵向量，並求出對稱矩陣A.
設特徵向量x={x1，x2，x3}轉置.求出的兩個特徵向量，x1要分別取1,0嘛？這是什麼原因.
解出來其中之一是p2={1,0,0}轉置p2={0,1，-1}轉置.為什麼不讓p2={1,1，-1}，是不是跟線性無關有關係？如果是兩個向量怎麼判斷相關性呢？我只會三個向量的…

第一個問題：由於屬於不同特徵值的特徵向量是相互正交的.囙此屬於1的特徵向量與屬於-1的特徵向量正交，假設屬於1的特徵向量為（x，y，z）則：y+z=0，x任意這樣得到基礎解系α=（1,0,0）β=（0,1，-1）屬於1的特徵向量可以視為…

已知三階實對稱矩陣A的特徵值為a1=-1，a2=a3=1，（0 1 1）T是屬於-1的特徵向量，求A
設特徵值為1的特徵向量為（x1，x2，x3）T，當得到x2+x3=0，怎麼求他們對應的特徵向量

這就是齊次線性方程組呀
自由變數x1，x3分別取1,0；0,1得基礎解系（1,0,0）^T，（0，-1,1）^T

線代實對稱矩陣特徵向量正交的問題，
假設一個三階實對稱矩陣，有三個特徵值3,3,1，又已知對應特徵值為1的特徵向量（1,1,2），這個時候求特徵值為3的特徵向量可以直接利用正交的性質列出方程x1
+x2+2x3=0求得的基礎解系就是對應特徵值為3的特徵向量.那麼，如果三個特徵值不相同，比如為3,5,1，這個時候再按照這種方法來列方程得到的基礎解系是什麼呢？不太明白，還希望大俠們可以具體解釋下啊，我糊塗死了，今天做到一個題做了N遍都沒做對
還有一個關於二次型的問題，李永樂的線代輔導上有個題，具體我就不寫了，有一個不明白的地方是，將一個二次型化為標準型之後是f=5y2^2+6y3^2，給出條件是x^Tx=2的時候，要求f的極大值，參攷答案給出的是x^Tx=y^Ty=2，所以x^TAx=5y2^2+6y3^2

假設一個三階實對稱矩陣，有三個特徵值3,3,1，又已知對應特徵值為1的特徵向量（1,1,2），這個時候求特徵值為3的特徵向量可以直接利用正交的性質列出方程x1+x2+2x3=0求得的基礎解系就是對應特徵值為3的特徵向量.那麼，如果三個特徵值不相同，比如為3,5,1，這個時候再按照這種方法來列方程得到的基礎解系是什麼呢？
實對稱矩陣有性質.①不同特徵值的特徵向量互相正交.②每個特徵值的代數重
數與幾何重數是相等的.
從②特徵值1的特徵子空間V是一維的.特徵值3的特徵子空間U是二維的.
從①R³；＝V×U（直積），即U是V的正交補，V是已知的，正交補是唯一的，所
以，你用那個方法求出的兩個向量，是V的正交補基底.從而也是U的基底.
至於特徵值是3,5,1.那麼只知道1的特徵向量就不够了.因為按照原來的方法只
能得到1的特徵子空間V的正交補，是3的特徵子空間U與5的特徵子空間W的直積.
不能確定U與W.所以，這種情況，必須知道兩個特徵值的特徵向量，才能够確定
第三個特徵值的特徵向量.（方法還是齊次方程組求解，不過這次是兩個方程，
而基礎解系只有一個向量.）
[另外一道題.請你另外提問.特別是要把題目交代清楚，別人才好幫你.]

矩陣的秩和特徵值之間有沒有關係？
感覺沒啥聯系，是這樣嗎

多少有一點聯系，不過不算很緊密.
1.方陣A不滿秩等價於A有零特徵值.
2.A的秩不小於A的非零特徵值的個數.

為什麼經過初等變換之後的矩陣的特徵值和沒經過初等變換的矩陣的特徵值不…
為什麼經過初等變換之後的矩陣的特徵值和沒經過初等變換的矩陣的特徵值不相同了呢？

初等變換與特徵值並沒有實質聯系，比如給一個方陣A，它的特徵值為方程|xE-A|=0的解，但是把A經過初等變換，比如變換成E後，特徵值就變成|xE-E|=0的解，即1，與原來的解不一樣了.

線性代數：設A是mn矩陣，B是nm矩陣，證明：Em-AB的行列式與En-BA的行列式相等
如題

關於線性代數的問題n階行列式的元素為aij=|i-j|（i，j=1,2,3.）求該行列式的值
這才是剛開始學的，難死了

我來幫你解决吧，答案是（-1）的n+1次方再乘以（n-1）*（2的n-2次方）由於是網頁留言沒法用公式編輯器了，我說的意思你懂的，具體解法如下：由題設可知，這是一個對稱行列式，其具體元素如下：0 1 2…n-11 0 1…n-22…