設n階非零方陣A的每一個元素都等於它的代數餘子式，證明：r（A）=n

設n階非零方陣A的每一個元素都等於它的代數餘子式，證明：r（A）=n

記adj（A）是A的伴隨矩陣，那麼條件就寫成A'=adj（A）.
利用adj（A）*A=det（A）*I得det（A）非零，否則A'A=0得到A=0，衝突.

設A為n階非零實方陣，A的每一個元素aij等於它的代數餘子式，即aij=Aij，（i，j=1,2,3，……n）證明A可逆

本題可以這樣證，
A的伴隨矩陣A*（j，i）比特元素為aij代數餘子式Aij，由此可見，你給的題目是A的每一個元素aij等於它的代數餘子式，即aij=Aij，得到A=（A*）'
換種寫法是A*=A'其中'是轉置的意思.這就將本題與伴隨矩陣聯系到了一起.
伴隨矩陣證明思路是固定的.
反證法如果A不可逆，即r（A）

設n階方陣A的行列式等於0，且有某個代數餘子式A（ij）不等於0，證明：方程組AX=0的一般解為
k（A（i1），A（i2），…，A（in））的轉置

證明：因為|A|=0所以AA*=|A|E=0所以A*的列向量都是AX=0的解.又因為|A|=0所以r（A）=1，所以r（A）>=n-1所以r（A）=n-1.所以AX=0的基礎解系含n-r（A）= 1個解向量.所以，A*的非零列向量（Ai1，Ai2，…，Ain）^T…