定義在正整數集上的f（x）對任意的m，n屬於正整數，有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，並且f（1）=1【1

定義在正整數集上的f（x）對任意的m，n屬於正整數，有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，並且f（1）=1【1

令m=x，n=1，得到f（x+1）=f（x）+4x+3；所以：
f（2）=f（1）+4*1+3
f（3）=f（2）+4*2+3
f（4）=f（3）+4*3+3
.
f（x）=f（x-1）+4*（x-1）+3
累加得，
f（x）=f（1）+4*（1+2+3+…+（x-1））+3*（x-1）=2x²；+x-2
顯然，f（x）最小值為1，
所以m²；-tm-1≤1對任意m∈[-1,1]恒成立
當m=0時，對t∈R不等式均成立；
當m＜0時，原式等價於t≤m-2/m在m∈[-1,0）恒成立，而函數m-2/m的最小值為1（函數為單增函數），所以t≤1；
當m＞0時，原式等價於t≥m-2/m在m∈（0,1]恒成立，而函數m-2/m的最大值為-1（函數為單增函數），所以t≥-1
綜上可得，-1≤m＜0時，t≤1
m=0時，t∈R
0＜m≤1時，t≥-1

定義一種運算“*”：1*1=2，m*n=k，m*（n+1）=k+3（m，n，k屬於正整數），則1*2007的結果是

1*1=2
1*2=2+3=5
1*3=5+3=8
…
1*2007=2007*3-1=6020

若m=2006^2+2006^2*2007^2+2007^2
證明：m是完全平方數且是奇數

m顯然是奇數.
m=（2007-1）^2+[（2007-1）2007]^2+2007^2
=2007^2-2*2007+1+（2007^2-2007）^2+2007^2
=2007^4-2*2007^3+3*2007^2-2*2007+1
=2007^4+2*2007^2+1-2*2007（2007^2+1）+2007^2
=（2007^2+1）^2-2*2007（2007^2+1）+2007^2
=（2007^2+1-2007）^2