證明m=2006^2*2007^2+2006^2+2007^2是完全平方數

證明m=2006^2*2007^2+2006^2+2007^2是完全平方數

m=（2007-1）^2+[（2007-1）2007]^2+2007^2
=2007^2-2*2007+1+（2007^2-2007）^2+2007^2
=2007^4-2*2007^3+3*2007^2-2*2007+1
=2007^4+2*2007^2+1-2*2007（2007^2+1）+2007^2
=（2007^2+1）^2-2*2007（2007^2+1）+2007^2
=（2007^2+1-2007）^2

設m=1！+2！+3！+4！+······+2003！+2004！，則m的末兩位數位之和為多少？

實際上這裡不用考慮10！到2004！之和，因為它們最後兩位數一定是00.1！+2！+3！+4！+5！+6！+7！+8！+9！=1+2+6+24+120+720+5040+40320+362880 =409113所以最後兩位數之和是4.

從1、2、3、…、1988、1989這些自然數中，最多可以取出______個數，使得其中每兩個數的差不等於4.

把1，2，3…19981999這1999個數分成四組公差是4的等差的數列，1，5，9，13…19831987----共497個數；2，6，10，14…19841988----共497個數；3，7，11，15…19851989----共497個數；4，8，12，16…19821986----共496個數；我們發現：1.四行中每一行中任意相鄰兩數相差為4，不相鄰兩數相差不可能是4；2.而分屬不同兩行的任意兩個數相差不可能為4，因為如果相差為4的話，兩數將被歸為一行，這顯然與事實衝突；故我們用這樣的方法來選符合規定的數：前三行每隔一個數選一個，每行最多可選249個數；第四行先選4，再隔一個數位選一個，可選出249個，最終得到249×4=996個數.答：最多可以取996個數，才能使其中每兩個數的差不等於4.