三個連續正整數，中間一個是完全平方數，將這樣的三個連續正整數的積稱為“美妙數”.問所有的小於2008的“美妙數”的最大公約數是多少？

三個連續正整數，中間一個是完全平方數，將這樣的三個連續正整數的積稱為“美妙數”.問所有的小於2008的“美妙數”的最大公約數是多少？

①任何三個連續正整數，必有一個能為3整除.所以，任何“美妙數”必有因數3.②若三個連續正整數中間的數是偶數，它又是完全平方數，必定能為4整除；若中間的數是奇數，則第一和第三個數是偶數，所以任何“美妙數”必有因數4.③完全平方數的個位只能是1、4、5、6、9和0，若其個位是5和0，則中間的數必能被5整除，若其個位是1和6，則第一個數必能被5整除，若其個位是4和9，則第三個數必能被5整除.所以，任何“美妙數”必有因數5.④上述說明“美妙數”都有因數3、4、和5，也就有因數60，即所有的美妙數的最大公約數至少是60.另一方面，60=3×4×5，60也是一個“美妙數”，美妙數的最大公約至多是60.答：所有的美妙數的最大公約數只能是60.

已知2分之1n是完全平方數，3分之1n是立方數，則n的最小值為多少.

設n/2=p^2
n/3=q^3
則
2p^2=3q^3
p，q中必同時含有2,3因數.設p=2^x*3^y q=2^s*3^t
則有
2^（2x+1）3^（2y）=2^（3s）3^（3t+1）
2x+1=3s
2y=3t+1
要求n最小，令x=1 y=2
則s=1 t=1
p=2*3^2=18
q=2*3=6
n=6^3*3=648
n的最小正數值是648
648/2=18^2
648/3=6^3

n是一個非零的自然數，二分之一n是平方數，三分之一n是立方數，則n的最小值是多少？

1/2n是平方數，可見n質因數分解後，質因數2的指數是奇數，其它質因數的指數是偶數
又1/3n是立方數，可見n質因數分解後，質因數3的指數被3整除餘1，其它質因數的指數是3的倍數
囙此最小的數n中質因數2的指數既是奇數又是3的倍數，最小是3；而質因數3的指數既是偶數又被3整除餘1，最小是4
從而所求的最小數n等於2^3×3^4＝648