求一個最小的正整數，它乘以2後是完全平方數，乘以3後是完全立方數.

求一個最小的正整數，它乘以2後是完全平方數，乘以3後是完全立方數.

2*2*2*3*3=72

三個連續正整數，中間一個完全是完全平方數，將這樣的三個連續正整數的積稱為“美妙數”，問所有小於2008
三個連續正整數，中間一個是完全平方數，將這樣的三個連續正整數的積稱為“美妙數”，問所有小於2008的美妙數的最大公因數是多少？

設中間的數是x^2（x為大於1的整數）
美妙數可表示為（x^2-1）·x^2·（x^2+1）（x≥2）
顯然最小的美妙數是60（此時x=2,3×4×5=60），所以所有美妙數的最大公因數一定小於或等於60，現證明最大公因數就是60
由於60=2×2×3×5，可以分別證明美妙數同時是3,4,5的倍數，那麼命題就得證了.
首先由分解因式得到，任意美妙數（x^2-1）·x^2·（x^2+1）=（x-1）（x+1）·x·x·（x^2+1）
x-1，x，x+1是三個連續正整數，必有一個是3的倍數，所以他們的乘積也必然是3的倍數
然後如果x是偶數，那麼x的平方必是4的倍數
如果x是奇數，那麼x+1和x-1都是偶數，他們的乘積也是4的倍數
最後證明乘積是5的倍數
如果x是5的倍數，乘積是5的倍數
如果x除以5的餘數是1，那麼x-1是5的倍數，乘積也必然是5的倍數
如果x除以5的餘數是4，那麼x+1是5的倍數，乘積也必然是5的倍數
如果x除以5的餘數是2，那麼x^2+1是5的倍數【這是因為（5K+2）^2+1=25k^2+20k+5】
如果x除以5的餘數是3，那麼x^2+1也是5的倍數【這是因為（5K+3）^2+1=25k^2+30k+10】
所以無論如何乘積都必然是5的倍數
綜上，最大公因數是60

將2008表示為k（k是一個正整數）個完全平方數之和求k的最小值怎麼證明呢？

2008=44*44+8*8+2*2+2*2
先找到最大的平方小於等於2008的，是44
剩下72，再找最大的平方小於等於72的，是8
剩下8，表示成2個2*2，
怎麼證明我感覺很難，現時沒有思路.