高中數學基本不等式a+b>=2√ab證明 如題證明a+b>=2√ab成立

高中數學基本不等式a+b>=2√ab證明 如題證明a+b>=2√ab成立

因為（√a-√b）^2>=0
所以a+b-2√ab>=0
所以a+b>=2√ab成立

高中不等式證明a+b+c-3開方（abc）≥a+b-2根號（ab） 若a，b，c，屬於正實數，a+b+c-3開方（abc）≥a+b-2根號（ab）

要證a+b+c-3開立方（abc）≥a+b-2根號（ab）
即要證c+2根號（ab）≥3開立方（abc）
因c+2根號（ab）=c+根號（ab）+根號（ab）
≥3[c*根號（ab）*根號（ab）]^（1/3）
=3[c*根號（a²b²)]
=3（abc）^（1/3）
得證

分析法證明不等式 已知非零向量a，b，a⊥b，求證|a|+|b|/|a+b|

【1】
∵a⊥b
∴ab=0
又由題設條件可知，
a+b≠0（向量）
∴|a+b|≠0.
具體的，即是|a+b|＞0
【2】
顯然，由|a+b|＞0可知
原不等式等價於不等式：
|a|+|b|≤（√2）|a+b|
該不等式等價於不等式：
（|a|+|b|）²≤[（√2）|a+b|]².
整理即是：
a²+2|ab|+b²≤2（a²+2ab+b²)
【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=（a+b）²=a²+2ab+b²
又ab=0，故接下來就有】】
a²+b²≤2a²+2b²
0≤a²+b²
∵a，b是非零向量，
∴|a|≠0，且|b|≠0.
∴a²+b²＞0.
推上去，可知原不等式成立.

已知a>0，b>0，且a+b=1，試用分析法證明不等式（a+1/a）（b+1/b）大於等於25/4

（＊）←[a²＋1][b²＋1]≥（25/4）ab←a²b²＋a²＋b²＋1≥（25/4）ab←a²b²＋（a＋b）²＋1≥（33/4）ab←a²b²－（33/4）ab＋2≥0←4（ab）²－33ab＋8≥0←（4ab－1）（ab－8）≥0
由1=a＋b≥2√ab，則ab≤1/4，從而4ab－1≤0且ab－8≤0，從而（4ab－1）（ab－8）≥0.從而原不等式成立.

當a>0時，證明不等式a+1/a-更號a2+1/a2

由於更號貼不進來，下麵用C1表示a+1/a，C2表示更號a2+1/a2，
C3表示更號2
兩邊同時乘以C1+C2
結果就得到2=2，C2 >= C3
所以C1+C2>=2+ C3
那麼（2- C3）*（C1+C2）>=（2- C3）*（2+ C3）=2
OK了

證明a2+b2+2≥2（a+b）

平方大於等於0
所以（a-1）²+（b-1）²≥0
a²-2a+1+b²-2b+1≥00
a²+b²+2≥2a+2b
所以a²+b²+2≥2（a+b）