有理数と自然数はどうやって証明しますか?なぜ無理数が理より多いですか?

有理数と自然数はどうやって証明しますか?なぜ無理数が理より多いですか?

この二つの問題は[0,1]の中の数だけ討論すればいいです。最初の問題は自然数と有理数の間の一対一の対応関係を確立すればいいです。このようなマッピングは容易に構築されます。例えば有理数をFarey級数で並べば、このような対応ができます。の中の全体の理数は数え切れないので、これらの有理数からなる集合の測度は0で、このように[0,1]の中で全体の理不尽な数の構成の集合の測度は1で、これは理不尽な数がはるかに余分な理数を必要とすることを示します。

反証法で証明します。一つの有理数と一つの無理数の和は無理数です。

a=p/q(p,qは整数で、しかも互质)が有理数であると仮定すると、bは无理数である。
c=a+bが有理数であると仮定すれば、c=r/s(r,sは整数であり、かつ相互)を設定することができます。
b=c-a=r/s-p/q=(qr-ps)/(sq)は有理数.矛盾です。