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怎樣證明有理數和自然數一樣多？為什麼無理數比有理數多？
這兩個問題僅討論[0,1]中數就可以了，第一個問題只要建立自然數和有理數之間的一一對應關係即可，這樣的到上映射是很容易建立的，比方說將有理數按Farey級數排列之後就可以建立這樣的對應，第二個問題利用Lebesgue測度可以給出一個解釋，因為[0,1]中的全體有理數是可數的，囙此這些有理數組成的集合的測度是0，這樣[0,1]中全體無理數組成的集合的測度就是1，這表明無理數要遠遠多餘有理數.
用反證法證明，一個有理數與一個無理數之和是無理數
設a=p/q（p，q是整數，且互質）是有理數，b是無理數.
假設c=a+b是有理數，可設c=r/s（r，s是整數，且互質）
於是b=c-a=r/s-p/q=（qr-ps）/（sq）是有理數.衝突！
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