すでに知っている点Gは三角形ABCの重心で、Gを過ぎてまっすぐにAB、ACの双方でそれぞれM、N 2点に交際して、しかもベクトルAM=x、ベクトルAN=yベクトルAC、 1/x+1/yの値を求めます

すでに知っている点Gは三角形ABCの重心で、Gを過ぎてまっすぐにAB、ACの双方でそれぞれM、N 2点に交際して、しかもベクトルAM=x、ベクトルAN=yベクトルAC、 1/x+1/yの値を求めます

AB＝a（ベクトル）、AC＝bを設定します。
AG=(1/3)(a+b)=xa+t(b-xa)=x(1-t)a+tyb
x(1-t)＝1/3＝t y.消去t、取得：1/x+1/y=3

すでに知っている点Gは三角形ABCの重心がGを過ぎて直線とAB ACの両方とそれぞれM N 2点に交際して、ベクトルAM=xAB AN=yACは1/x+1/y=ですか？ AG=mAM+nAN、共線条件はm+n=1 AG=(1/3)AB+(1/3)AC AM=xAB，AN=yAC そこでmx=1/3、ny=1/3 得m=1/(3 x)、n=1/(3 y) そこで1/(3 x)+1/(3 y)=1 3=(x+y)/xy=1/x+1/y他のところは全部分かります。唯一AG=mAM+nANから1/3 x+1/3 y=1前の1/3 x+1/3 yは分かります。主に後ろの1はどうやって来たのですか？AGはなぜ1に等しいですか？

上ではなく共線条件はm+n=1です。
m=1/(3 x)
n=1/(3 y)
m，nを式1に代入するのはそうではないです。
1/(3 y)=1ですね
あなたが言ったのではなく、AGは1に等しいです。
AG=1/(3 x)AM+1/(3 y)AN

三角形ABC重心がGの場合ベクトルAB=mベクトルAC=nはm nでベクトルCGを表していることが知られています。

延長CGはDでABです
Gは重心ですから
だからDを注文するのは端ABの中点です。
ベクトルの三角形演算法則
ベクトルCD=ベクトルAD-ベクトルAC
すなわち、ベクトルCD=0.5 m-n（mとnは既知のベクトルです。）
三角形の重心の性質によって、線分CGの長さは線分CDの三分の二です。
したがって、ベクトルCG=2/3(0.5 m-n)

すでに知っている点Gは三角形ABCの重心がGを超えて直線とAB ACの両側にそれぞれM N 2点があり、ベクトルAM=xAB AN=yACは1/x+1/yの値を求めます。 AG=(1/3)(a+b)=xa+t(b-xa)=x(1-t)a+tybとはどういう意味ですか？

MGN 3点共線
必ず実数tがある
tAM+(1-t)AN=AGにする
これは教科書の例題です。
AM=xAB、AN=yAC
AG=(AB+AC)/3
代入は1/x+1/y=3となります。

Gは△ABCの重心であることが分かりました。直線EFはGを超えて、そして辺ABとACはそれぞれE、F、ベクトルAE＝に渡します。αベクトルAB、ベクトルAF＝βベクトルAC、 1を求める／α＋1／βの値を返します そうです。植れば3です

ベクトルAE＝αベクトルAB、ベクトルAF＝βベクトルACα,β>0
EFは点Gを通過するとEFmax＝中線長、EFmin＝中位線長となります。
ですから、EFが一番大きい時は、EとB点が重なっています。
α＝1,β＝1/2
EFで一番時間がかかります
α＝1/2、β=1/2
だから3=<1／α＋1／β<=4
それは1／α＋1／の最小値は、値を取るべき範囲です。

すでに知っていて、ポイントGは三角形ABCの重心で、Gを過ぎる直線EFはABに交際して、ACはEになって、F、BE/AE+CF/AF=1を実証します。

極限法で求められますが、特殊な形でも大丈夫です。