求證：等軸雙曲線上任意一點到對稱中心的距離，是他到兩焦點距離的等比中項

求證：等軸雙曲線上任意一點到對稱中心的距離，是他到兩焦點距離的等比中項

假設該雙曲線是x^2-y^2=a^2，則可知雙曲線的離心率e=√2.便於研究，我們可以設一點P（x0，y0）在雙曲線的右支，且在第一象限.雙曲線的對稱中心就是O點嘛，雙曲線左、右焦點分別為F1（-c，0）、F2（c，0），則向量PF1=（-c-x0，-y0），向量PF2=（c-x0，-y0），則向量PF1*向量PF2=x0^2+y0^2-c^2，由雙曲線方程可得x0^2+y0^2-c^2=2x0^2-3a^2.焦半徑PF1=ex0+a，焦半徑PF2=ex0-a，點F1、O、F2三點共線，且O是線段F1F2的中點，於是就有向量PO=1/2*（向量PF1+向量PF2），做好這些準備工作後就可以開始解題了.
（線段PO）^2=（向量PO）^2=1/4*（向量PF1+向量PF2）^2=1/4[（向量PF1）^2+（向量PF2）^2+2（向量PF1）*（向量PF2）]=1/4[（ex0+a）^2+（ex0-a）^2+2x0^2-3a^2]=1/4（8x0^2-4a^2）=2x0^2-a^2=（√2x0+a）（√2x0-a）=（ex0+a）（ex0-a）=焦半徑PF1*焦半徑PF2，即得證.
此法屬向量法，過程其實不難，主要用到向量的一個結論和雙曲線的焦半徑，以及和等軸雙曲線的離心率是√2來解題，可能有些複雜，但思路十分清晰，應該能看得懂吧.