設a,b,c是不全相等的任意整數,若x=a2-bc,y=b2-ac,z=c2-ab.求證:x,y,z中至少有一個大於零.

設a,b,c是不全相等的任意整數,若x=a2-bc,y=b2-ac,z=c2-ab.求證:x,y,z中至少有一個大於零.

證明:假設x,y,z都小於0,∵x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,∴2(x+y+z)=2a2-2bc+2b2-2ca+2c2-2ab=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2<0,∴這與(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0…