求微分方程y''+2y'-48y=e^x的通解.

求微分方程y''+2y'-48y=e^x的通解.

一般來說，微分方程最簡單的形式，就是方程兩邊只有一個變數的導數形式.那麼把這個方程分解成兩部分
（1）.y''+2y'-48y=0（右邊=0）
（2）.y=a* e^x（右邊是原方程的右邊，如果是x^n的形式，那麼就是y=a*x^（n+j），這裡的j是y的導數的最高階）
兩個方程的解相加就可以了.
因為e^x的導數還是e^x，e^nx導數是n*e^nx，所以方程（1）的解可以寫成e^nx的各種組合形式.特徵方程的解就是對應的微分方程的e^nx係數中的n.
所以就像樓上的解法一樣.
特徵方程為：x^2+2x-48=0，兩個根：6，-8
囙此可設通解為：c1*e^（6x）+c2*e^（-8x）+a*e^x
代入得，a+2a-48a=1，a=-1/45
最後，通解為：c1*e^（6x）+c2*e^（-8x）-1/45*e^x
這樣說比較清楚了.

Elden Ring Premiere

RELATED INFORMATIONS